Jezus uwalnia od reinkarnacji?

a czy my mamy mało czasu do tego aby zastanowić się nad sobą, czy my ludzie
mamy mało okazji i znaków nad którymi się nie zastanawiamy a o których mówił
jezus i co chcielibyśmy po śmierci mieć jeszcze szanse przecież mamy tylko
czy je dobrze wykorzystujemy. można sobie wmawiać że jest czyściec, jakieś
reinkarnacje itd. a ile razy my potrafimy wybaczyć jeden drugiemu tyle samo
bóg potrafi nam wybaczyć i nie ma drugiej szansy
jezus nie przyszedł odkupywać naszych grzechów on pokazał swoim życiem tak
róbcie jak ja a będziecie żyć, jego życie to taki wzór na pole trójkąta
prostokątnego pitagorasa, zastosujesz sukces niezastosujesz porażka
proste jak budowa cepa :)

 

Poszukuję algorytmu obliczania pola figur zamkniętych metodą statystyczną

Cytat:

Przeczuwam, że chodzi o rzecz następującą:
1) otaczasz swoją figurę kwadratem ( prostokątem, inną figurą o znanym
 Ci polu ), w ten sposób, aby było jak najmniej 'powietrza' ( iloraz
 PoleSzukane/PoleOtoczki maksymalnie bliskie 1 ).
2) losujesz za pomocą generatora liczb losowych punkt wewnątrz otoczki
( prostokąt jest najłatwiejszy )  N++ , i sprawdzasz, czy wpadł także
w Twoją figurę ( K++ ).
3) K/N to stosunek pól figury i otoczki. Błąd wyliczasz jak dla wskażnika
struktury. Dlatego stosunek pól powinien byćbliski 1 - inaczej błąd
wskażnika struktury będzie spory, i trzeba będzie wykonać dużo losowań.



taki algorytm, jesli mnie pamiec nie myli, zwie sie metoda Monte-Carlo

Cytat:Inne podpowiedzi:
1) Wielokąt dzielisz na trójkąty, ich pola sumujesz.
2) Objaśnienie drugiej metody może wymagać rysunku. Jakby co-wal na priva.
Objeżdzamy łamaną z lewa na prawo. Dla odcinków skierowanych na prawo
dodajemy pola trapezów  ograniczone tymi odcinkami i osią OX, na lewo -
odejmujemy.



zabawa z trojkatami jest ciekawa ale, jesli chodzi o wielokaty, prosciej
skorzystac z ponizszego wzoru.

Obliczanie pola DOWOLNEGO wieloboku:
S=0.5[(x1-x2)(y1+y2) + (x2-x3)(y2+y3) + ... + (xn-x1)(yn-y1)],
 o danych współrzędnych jego wierzchołków (x1,y1), (x2,y2), ... , (xn,yn);
zgodnie z ruchem zegara, lub w druga strone: S *=(-1)

pozdro
E2

Poszukuję algorytmu obliczania pola figur zamkniętych metodą statystyczną

Witam

Cytat:| 2) losujesz za pomocą generatora liczb losowych punkt wewnątrz otoczki
| ( prostokąt jest najłatwiejszy )  N++ , i sprawdzasz, czy wpadł także
| w Twoją figurę ( K++ ).
taki algorytm, jesli mnie pamiec nie myli, zwie sie metoda Monte-Carlo



Dokładnie. Służy też do całkowania. Tylko wyleciał mi z głowy błąd
wskażnika struktury: sqrt(p(1-p)) ?

Cytat:zabawa z trojkatami jest ciekawa ale, jesli chodzi o wielokaty, prosciej
skorzystac z ponizszego wzoru.

Obliczanie pola DOWOLNEGO wieloboku:
S=0.5[(x1-x2)(y1+y2) + (x2-x3)(y2+y3) + ... + (xn-x1)(yn-y1)],
 o danych współrzędnych jego wierzchołków (x1,y1), (x2,y2), ... , (xn,yn);
zgodnie z ruchem zegara, lub w druga strone: S *=(-1)



To jakiś analog wzoru Herona ?

Pole wielokata

Cytat:Czy wie ktos moze jak policzyc pole dowolnego wielokata majac dane
wspolrzedne wszystkich wierzcholkow.
Myslalem o calkowaniu odcinkow (bokow) ale ciezko okreslic ktore
scalkowane pola dodawac, a ktore odejmowac.



podziel taki wielokat na trojkaty, policz ich pola a potem dodaj wszytko do
siebie....

jak podzielic wielokat na trojkaty?
ano wybierasz pierwszy z kolei wierzcholek, i od tego wierzcholka obliczasz
katy nachylenia do innych wierzcholkow, sortujesz te wierzcholki wedlug kata
nachylenia, no i bierzesz kolejno pierwszy wierzcholek i dwa nastepne (2 i
3), potem pierwszy i dwa nastepne (tj 4 i piaty) itd obliczasz pola
trojkatow utworzonych z kolejnych wierzcholkow dodajesz i gotowe

trzeba tylko poszukac wzorow na wektory itp

mysle ze to powinno dzialac

 

algorytm do obliczania pola wieloboku

Cytat:

| | | pieciobok można podzielic na jeden trojkąt
| a dalej to najprostrze kwadrat lub prostokąt
| bądz rownoległobok to co  takiego /  / dalej
| to by beło trapez co  takiego /  
| obliczając pola karzdej z tych figur
| i sumując wyjdzie ci pole piecioboku.
| Jednym słowem
| Kartka i ołówek a pózniej kod

Możnaby się pokusić o taki algorytm (weź kartkę i rysuj):

Mamy wielokąt wypukly 1,2,3,...,n.

z wierzchołka 1 prowadzimy prostą przez wierzcholek 3. Mamy
trójkąt 1-2-3. z wierzchołka 1 prowadzimy prostą przez
wierzcholek 4. Mamy trójkąt 1-3-4 (przylegający do
poprzedniego). z wierzcholka 1 prowadzimy prostą przez
wierzcholek 5. Mamy trójkąt 1-4-5(----//----)
...
z wierzcholka 1 prowadzimy prostą przez wierzcholek n.Mmamy
trójkąt 1-(n-1)-n.

Ogólnie : powstaje  n-2 trókątów, przy czym trójkąt "i" sklada
się z wierzchołków  1 -  (i-1) - i.
(i = 3..n)

Tyle na temat podzialu.
Natomiast jeśli dobrze pamiętam, to
pole trójkąta o wierzchołkach A, B, C dane jest jako:

P = 0.5 * |BA x BC|, gdzie 'x' iloczyn wektorowy.



wzor prawie dobrze tylko x oznacza wyznacznik dwoch wektorow

dwa pytania związane z algorytmami 3D

Cytat:



Cytat:ale jaki konkretnie będzie wzór? jeżeli węzły siatki są co step_x i step_z
to co mam zrobić dla konkretnego (x,z) ?



To zalezy od tego, jak podzielisz prostokat na trojkaty. Jak znajdziesz juz
trojkat, w ktorym lezy punkt, to oblicz wspolrzedne (barycentryczne) punktu
w tym trojkacie i pomnoz przez przyrosty y.

p1    p2
.----.
| p /
|. /
| /
|/
p3
s = (p.x-p1.x)/(p2.x-p1.x)
t = (p.z-p1.z)/(p3.z-p1.z)
p.y = p1.y + s*(p2.y-p1.y) + t*(p3.y-p1.y)

s i t sie upraszcza, jesli step == 1
dla drugiago trojkata jest podobnie

Cytat:gdybym cały teren podzielił na 4 kwadraty, każdy z tych kwadratów na
kolejne
cztery... i tak dalej - to wystarczyłoby sprawdzić, czy duży kwadrat jest
w trójkącie/wycinku - jeżeli nie - wywalamy, jeżeli tak - wchodzimy
głębiej...
czy jest lepszy sposób?



Dla samego terenu wystarczyloby uzyc jakiegos algorytmu wypelniania trojkata
tylko, ze trojkatem jest pole widzenia a zamiast rysowania piksli - rysujesz
odpowiednie prostokaty siatki. Zero narzutu na przegladanie quad-tree, czy
innych drzew i latwo zaadoptowac do wykorzystania tri-strip'ow.

Sieci neuronowe - pytanie

Cytat:

Witam.

Poszukuję informacji na temat zastosowania sieci neuronowych do generacji
map. Dokładnie chodzi mi o coś takiego: mam kilka punktów na mapie, w
których znana jest np. temperatura i na podstawie tych kilku punktów sieć
neuronowa generuje mi rozkład temperatury na całym obszarze. Może mógłby
mnie ktoś naprowadzić trochę na temat, ewentualnie podać przydatny link. Z
góry dziękuję.



Kiedys jeden profesor mnie o to pytal.
Nie byly to punktowe wartosci temperatury a cisnienia, ale temat
podobny.
Nie wiem czemu chcesz siec neuronowa, a nie aproksymacje 3D
chyba programy geodezyjne, Map-cos tam, maja takie funkcje jak generacja
mapy powierzchni, poziomic w oparciu o informacje rastrowa.
Zobacz jak to dziala.
Zobacz tez aproksymacje poliliniami z autocada, krzywymi Bezier'a
czy narzedziami do projektoewania Landscape.
Takie narzedzie jest w Links 2000, czyli projektowanie pol golfowych
i generacja poziomic z rastru.
Wypadaloby tez aproksymowac te punkty gladkimi krzywymi, bez wielu
siodel.

Poza tym pomysl o algorytmie do triangulacji powierzchni, tutaj nawet
plaszczyzny.
Prostym wzorem obliczajac temperature w srodku odcinka laczacego 2
punkty jako srednia z temperatur w tych 2 punktach i w tym punkcie
budujac wierzcholek kolejnego trojkata itd.
Jezeli nie bedziesz wiedzial jak isc dalej z triangulacja to zapytaj
Bena Appletona, on siedzi w algorytmach i jeszcze kilku innych na grupie
algorytmy.
Ale triangulacja i obliczanie temp w wierzcholku jako sredniej, bedzie
bezpieczna metoda, nawet dla nakladania tekstury.

Jacek

obliczanie pól


Cytat:czy ktoś mógłby wymyśleć i podać
algorytm na obliczanie pól czteroboków
o dowolnych wymiarach boków?



  Dzielisz na trójkąty, mając współrzędne punktów liczycz długości
boków, a potem ze wzoru Herona - pola.

obliczanie pól

Cytat:
  Dzielisz na trójkąty, mając współrzędne punktów liczycz długości
boków, a potem ze wzoru Herona - pola.



Można dużo prościej (bez pierwiastków, tylko cztery działania).
Podzielić na cztery trapezy, każdy o jednym boku pokrywającym się
z bokiem czworokąta, przeciwległym boku leżącym na osi X, a pozostałych
równoległych do osi Y.

Jeśli policzymy "pole" trapezu ze znakiem odpowiadającym zwrotowi
odpowiedniego boku w obiegu wokół czworokąta, to można nie patrzeć,
które trzeba dodawać, a które odejmować, tylko wszystkie dodać,
dodatnie i ujemne, a tylko na końcu wziąć wartość bezwzględną.

To działa w analogiczny sposób dla dowolnej liczby boków.

obliczanie pól

Cytat:
| boków, a potem ze wzoru Herona - pola.

powiesz mi coś o wzorze Herona czy mam szukać?
bo słyszę po raz pierwszy...



najpierw liczysz tak aliczbe pomocnicza p, czyli
polowe obwodu tego trojkata: p = (a+b+c)/2

A potem majac to p liczysz pole ze wsoru
s = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))

To chyba wszystko :) Wzor prosty i bardzo przydatny

Pozdrawiam,

program obliczający pole dowolnego czworokąta?

Cytat:| Dzielimy czworokąt ABCD na dwa trójkąty ABC i ACD. Pole trójkąta policzyć
| już dość łatwo :-)

aha;

A.             C.

       B.

       D.

mamy czworokat ABCD i go dzielimy na trojkaty...

w sumie wystarczy dany czworokat podzielic na trojkaty na wszystkie
mozliwe sposoby idac tym tokiem rozumowania; jesli jest wypukly to
wszystkie sumy pol trojkatow wyjda takie same; jesli zas czworokat jest
wklesly, to jedna suma pol wyjdzie mniejsza i wtedy bierzesz ta
mniejsza;



Pytanie po co - jak skorzystasz z odpowiedniego wzoru na pole
trojkata to ci jedno pole wyjdzie ujemne ;)  i zawsze bedzie tak samo:

Sczworokatu=Sabc+Sacd
W twoim przypadku ujemne bedzie Sabc

Sc0

program obliczający pole dowolnego czworokąta?

Cytat:| w sumie wystarczy dany czworokat podzielic na trojkaty na wszystkie
| mozliwe sposoby idac tym tokiem rozumowania; jesli jest wypukly to
| wszystkie sumy pol trojkatow wyjda takie same; jesli zas czworokat jest
| wklesly, to jedna suma pol wyjdzie mniejsza i wtedy bierzesz ta
| mniejsza;



To brzmi bardzo logicznie i chyba tak zrobie bedzie najprosciej:)!!!
Dzieki za odpoeidz i pomoc !

Cytat:Pytanie po co - jak skorzystasz z odpowiedniego wzoru na pole
trojkata to ci jedno pole wyjdzie ujemne ;)  i zawsze bedzie tak samo:



Tego nie bardzo rozumiem ??? pole nie moze byc ujemne!!! Zreszta jak mozliwe
ze wyszlo Ci ujemne???

Pozdrawiam greg

program obliczający pole dowolnego czworokąta?

Cytat:
| Dzielimy czworokąt ABCD na dwa trójkąty ABC i ACD. Pole trójkąta policzyć
| już dość łatwo :-)
[...]
| w sumie wystarczy dany czworokat podzielic na trojkaty na wszystkie
| mozliwe sposoby idac tym tokiem rozumowania; jesli jest wypukly to
| wszystkie sumy pol trojkatow wyjda takie same; jesli zas czworokat jest
| wklesly, to jedna suma pol wyjdzie mniejsza i wtedy bierzesz ta
| mniejsza;

Pytanie po co - jak skorzystasz z odpowiedniego wzoru na pole
trojkata to ci jedno pole wyjdzie ujemne ;)  i zawsze bedzie tak samo:



okay - ale jakie masz dane; jesli jako dane masz podane wspolrzedne
punktow, to pokaz mi jak uzyskac ujemne pole trojkata, z jakiego wzoru;

wydaje mi sie, ze widzisz oczami na rysunku cos, co dla komputera
znajacego tylko wspolrzedne, jest obliczeniem na skomplikowany wzor;

pozdrawiam;
adas;

program obliczający pole dowolnego czworokąta?

Cytat:| Pytanie po co - jak skorzystasz z odpowiedniego wzoru na pole
| trojkata to ci jedno pole wyjdzie ujemne ;)  i zawsze bedzie tak samo:

Tego nie bardzo rozumiem ??? pole nie moze byc ujemne!!! Zreszta jak mozliwe
ze wyszlo Ci ujemne???



formalnie: chodzi o to ze liczysz nie tylko pole, ale iloczyn pola i
znaku skretu (lewo/prawo)

          A                     A

       C      B              B      C

skret takich dwoch ukladow punktow ma rozne znaki: 0 i <0

            A     B      C

a taki uklad ma skret rowny 0

wzor na to jest prosty, ale nie pamietam... uzywalo sie tego do
liczenia widocznosci sciany bryly w grafice wektorowej na starej
dobrej amidze :)

program obliczający pole dowolnego czworokąta?

Cytat:okay - ale jakie masz dane; jesli jako dane masz podane wspolrzedne
punktow, to pokaz mi jak uzyskac ujemne pole trojkata, z jakiego wzoru;

wydaje mi sie, ze widzisz oczami na rysunku cos, co dla komputera
znajacego tylko wspolrzedne, jest obliczeniem na skomplikowany wzor;



jaki tam skomplikowany ;) znak pola zalezy jedynie
od sinusa kata pomiedzy bokami, a i nawet sinusa nie trzeba liczyc
jakby sie uprzec, bo kat<180 ma sinus =0 a powyzej 180 ma <=0,
wiec mozna np. biorac boki jako wektory (masz wspolrzedne)
szybko sprawdzic czy kat jest < czy 180 i liczyc wg normalnego wzorku ;),
ale wydaje mi sie ze latwiej juz na wektorach wszystko zrobic i zsumowac
pola po prostu.

  b-------c   = S
|/_
a

a<-----b------c = 0

a_
|
  b ------------c = -S

Sc0

punkty wspolne trojkatow


Cytat:Ma ktos jakis pomysl jak sprawdzic czy dwa trojkaty na plaszczyznie
maja punkty wspolne? I jezeli tak to ile tych punktow?
dane sa wspolrzedne wierzcholkow obu trojkatow...
bo jakos nie moge nic sensownego wymyslec :(



rysujesz oba trójkąty chociażby na ekran i sprawdzasz który punkt jest w
obu trójkątach.

a dokładniej :

1) rysujesz trojkąt A na ekran, do tablicy 2d tabA wczytujesz punkty z
ekranu,  analogicznie rysujesz trójkąt B i do tabB ładujesz jego punkty,
na koniec
for (int x=0; x<sx; x++) for (int y=0; y<sy; xy+)
  if (tabA[x][y] && tabB[x][y]) ilosc++;

lub

2) liczysz całość geometrycznie z wzorów na pole trójkąta, wynik wyjdzie o
wiele dokładniejszy i będzie policzony bardzo szybko

jeżeli b. potrzebujesz całego kodu - pisz na priv

Wzory matematyczne a interpunkcja.

Witam,

mam wątpliwości, czy i jak stosować interpunkcję,
kiedy w zdanie pisane słowami wbudowuję wzory
matematyczne.

Dopóki wzory są na tyle proste, że mogę je
wkomponować w linijkę tekstu, sprawa
jest w miarę prosta. Przykładowo:

   Dochodzimy tu do wniosku, że trójkąt CAB
   jest równoramienny, ponieważ CA=AB.
   Rozważmy teraz czworobok ABCD....

Tutaj całość można odczytać słowami
[... ponieważ ce a równa się a be], i stawiam
normalnie kropkę kończącą zdanie.

Ale co zrobić, jeśli mam wzór bardziej rozbudowany,
który muszę wyrzucić do osobnego akapitu,
a chciałbym zachować ciągłość zdania?

Przykład (matematycznie bez sensu, tylko
gwoli ilustracji problemu z interpunkcją) :

   Dochodzimy do wniosku, że gradient dywergencji
   hessjanu rotacji pola X jest polem wektorowym
   bezźródłowym, ponieważ

       b
    całka ( rot(d/dX(nabla(delta(X))) ) = 0
       a

    Rozpatrzmy teraz komplementarne do X pole Y....

No i co tutaj? Czy powinienem kropkę postawić
zaraz po zerze? Boję się, że będzie wyglądała jak część
wzoru. Dać ją na początku następnego wiersza,
przed "Rozpatrzmy"? Bez sensu. Wyrzucić do osobnego
wiersza, poniżej wzoru a powyżej "Rozpatrzmy"? Błuee...
Pozostawić pierwsze zdanie bez kropki?

Dzięki z góry za wszelkie oświecenie,
L.

Jak policzyæ pole powierzchni dzia³ki?

Użytkownik Krzysztof zapytał:
Cytat:Mam wobec tego pytanie, w jaki sposób policzyć areał takiej działki,
bez
pomocy oczywiście geodety.



mają 4 boki czworokąta bez żądnych kątów to bedzie trudne.
ale jesli masz to na mapie to podziel sobie działkę na trójkąty
rysując np. przekątne zmierz boki każdego z tych trójkątów
Pole Twojej działki to pola powieszchni wszystkich trójkacików
a pole każdeog z trójkącików to
P= sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
gdzie p=(a+b+c)/2
[to sie nazywa wzór Harona]
:)

Pozdrawiam macgaw
p.s. 'sqrt' oznacza pierwiastek kwadratowy

Jak policzyæ pole powierzchni dzia³ki?

Cytat:mają 4 boki czworokąta bez żądnych kątów to bedzie trudne.
ale jesli masz to na mapie to podziel sobie działkę na trójkąty
rysując np. przekątne zmierz boki każdego z tych trójkątów
Pole Twojej działki to pola powieszchni wszystkich trójkacików
a pole każdeog z trójkącików to
P= sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
gdzie p=(a+b+c)/2
[to sie nazywa wzór Harona]
:)

Pozdrawiam macgaw
p.s. 'sqrt' oznacza pierwiastek kwadratowy



Dzięki Macgaw, o to mi chodziło.
Pozdrawiam

napiecie srednie przebiegu trojkatnego i prostokatnego

Oblicz sobie całkę za okres i podziel przez okres.

A to samo tylko prościej: oblicz sobie pole trójkąta albo prostokąta jakie
zajmuje funkcja w czasie jednego okresu i podziel przez okres.

Pozdr. Paweł

Cytat:jak w temacie potrzebny wzor



Czy taki sposób na ZUS przejdzzie?

Cytat:Ja i kolega zakładamy DG. Ja go zatrudniam u siebie, np. na pól etatu za
minimalną stawkę i płacę za niego ZUS, on robi to samo względem mnie.
Oboje
pracujemy więc na etatach, zatem od DG powinniśmy odprowadzać na ZUS po 50
zł, a nie 660. Czy taki myk przejdzie?

Jakub



Nie 50 zł....
Zatrudniajcie się na jaką część etatu chcecie, ale kwota wynagrodzenia na te
pół etat musi wynosić najniższą krajową (nie oblicza się tego ze wzoru:
 najniższa krajowa (800 zł) * 1/2 etatu... = 400 zł
Zatrudniony na umowę o pracę aby mógł nie płacić ZUS-u wynikająceg z DG musi
zarabiać najniższą krajową. Tak więc możecie się zatrudnić nwet na 1/8 etatu
ale umowy o pracę należy zawrzeć na kwotę najniższej krajowej.

Jeśli będziecie mieli kontrolę to urzędas zawsze stwierdzi, że kombinujecie
ponieważ zatrudniacie się nawzajem a możecie przecież świadczyć usługi...
do trójkąta nie mogą się przyczepić....

Zatem z tymi opłatami to jest następująco:
za ZUS pracownika:  z 800 zł to ok 350 zł do ZUS-u
obowiązkowa składka z DG: 106 zł     - to się pod koniec roku zwraca i
odlicza od należnego podatku, ale trzeba to zapłacić
Zatem to nie jest tak pięknie.......
miesięcznie i tak wyniesie to ok 450zł....

Nie znam dokładnych składek dlatego liczby nie są dokładne, ale przerabiałem
już temat i zasada jest niestety taka jak opisałem..

invest-net

Czy taki sposób na ZUS przejdzzie?

A może zatrudnijcie się na umowe zlecenie??? Chyba przy umowie zlecienie
wynagrodzenie nie musi wynosić najniższej krajowej, aby nie płacić ZUS-u.

Cytat:Nie 50 zł....
Zatrudniajcie się na jaką część etatu chcecie, ale kwota wynagrodzenia na
te
pół etat musi wynosić najniższą krajową (nie oblicza się tego ze wzoru:
 najniższa krajowa (800 zł) * 1/2 etatu... = 400 zł
Zatrudniony na umowę o pracę aby mógł nie płacić ZUS-u wynikająceg z DG
musi
zarabiać najniższą krajową. Tak więc możecie się zatrudnić nwet na 1/8
etatu
ale umowy o pracę należy zawrzeć na kwotę najniższej krajowej.

Jeśli będziecie mieli kontrolę to urzędas zawsze stwierdzi, że
kombinujecie
ponieważ zatrudniacie się nawzajem a możecie przecież świadczyć usługi...
do trójkąta nie mogą się przyczepić....

Zatem z tymi opłatami to jest następująco:
za ZUS pracownika:  z 800 zł to ok 350 zł do ZUS-u
obowiązkowa składka z DG: 106 zł     - to się pod koniec roku zwraca i
odlicza od należnego podatku, ale trzeba to zapłacić
Zatem to nie jest tak pięknie.......
miesięcznie i tak wyniesie to ok 450zł....

Nie znam dokładnych składek dlatego liczby nie są dokładne, ale
przerabiałem
już temat i zasada jest niestety taka jak opisałem..

invest-net



zapis matematyczny

Wojtek Szweicer:

Cytat:Brak znaku to tylko w algebrze.



Naprawdę?  A jaka kara grozi za użycie tego sposobu zapisu w geometrii
np. we wzorze na pole trójkąta  S = ah/2 ?  Albo w fizyce we wzorze na
energetyczny równoważnik masy  E = mc^2 ?

 - Stefan

zapis matematyczny

On 2004-12-12 23:17 :

Cytat:Wojtek Szweicer:

| Brak znaku to tylko w algebrze.

Naprawdę?  A jaka kara grozi za użycie tego sposobu zapisu w geometrii
np. we wzorze na pole trójkąta  S = ah/2 ?  Albo w fizyce we wzorze na
energetyczny równoważnik masy  E = mc^2 ?




- Szwejk

zapis matematyczny

Cytat:
On 2004-12-12 23:17 :

| Wojtek Szweicer:

| Brak znaku to tylko w algebrze.

| Naprawdę?  A jaka kara grozi za użycie tego sposobu zapisu w geometrii
| np. we wzorze na pole trójkąta  S = ah/2 ?  Albo w fizyce we wzorze na
| energetyczny równoważnik masy  E = mc^2 ?



O każdym mnożeniu tak można powiedzieć, więc ta
klasyfikacja jest cokolwiek bez sensu.

Zenada w Wyzszej Szkole Dziennikarstwa w W-wie

Cytat:Zgadzam sie z przedmowca. Mialem dziewczyne z tej "uczelni" i slowo daje,
kase wykladala niezla, ale
uczyc to prawie wcale nic, nawet nie zakuwala. No moze jakis referacik :(
Wg. mnie takie uczelnie sa dla tzw. ludzi chcacych miec papierek za kaske.



no cóż ... dość powiedzieć, że na SGH przez 3 lata licencjackich moja dobra
znajoma ani razu nie pojawila sie na zadnym z egzaminow z matematyki
osobiscie
w sumie po co jak kolezanka moze za nia pojsc, prawda ?
tyle tylko, ze teraz ta moja znajoma dzwoni do mnie i pyta sie o wzor na
pole powierzchni trojkata !!! i nie mam tutaj nic przeciwko studenckim
kombinacjom (w koncu sami sobie "szkodza") ile przeciwko kompletnemu
olewaniu edukacji na zasadzie bulisz kasę - dyplom masz, chocbyś nie znał
tabliczki mnożenia !!!

Zenada w Wyzszej Szkole Dziennikarstwa w W-wie


Cytat:tyle tylko, ze teraz ta moja znajoma dzwoni do mnie i pyta sie o wzor na
pole powierzchni trojkata !!! i nie mam tutaj nic przeciwko studenckim
kombinacjom (w koncu sami sobie "szkodza") ile przeciwko kompletnemu
olewaniu edukacji na zasadzie bulisz kasę - dyplom masz, chocbyś nie znał
tabliczki mnożenia !!!



To ta znajoma nawet do podstawówki nie chodziła?...:-DDDDDDD

Kaja

belka z obciążeniem trójkątnym


Cytat:Skoro podpora jest pod srodkiem ciezkosci to wypadkowa tego obciazenia
przechodzi przez punkt w ktorym liczysz sume momentow (czyli moment w tym
punkcie od obciazenia trojkatnego bedzie rowny 0) i zostanie sama reakcja w
z drugiej podpory ktora bedzie rowna zero :) W skrocie - RA=0, RB=wypadkowa
od obciazenia trojkatnego.

pozdrawiam



Podziel obciążenie dużym trójkątem na obciążenie dwoma małymi, każdy
równy połowie dużego.
Podział zrób nad podporą przesuwną.
W środkach ciężkości tych małych trójkątów przyłóż siły skupione
( wypadkowe, zastępujące obciążenie małym trójkątem).
Napisz teraz równania równowagi.  Px  = 0 ;    MA =0 . Rozwiąż je
względem RA  i RB.
Momenty zginające w przekrojach i siły poprzeczne można już porachować
używając podręcznikowych wzorów.

W.Kr.

Trojkat

Cytat:Mam pytanie. Jak mozna udowodnic, ze nie istnieje trojkat o wysokosciach
dlugosci 1, 2, 3.

Z gory dzieki za wskazowki.
Magda

Moze układ równań:



P=1/2*a*1
P=1/2*b*2
P=1/2*c*3
P^2=t*(t-a)*(t-b)*(t-c)
t=(a+b+c)/2
(dwie ostatnie linijki to wzór Herona na pole trójkąta)

Kuba

Pole trojkata????


Cytat:

| Czy ktos wie jaka najwieksza wartosc moze przyjac pole trojkata
zawartego
| w
| prostokacie o polu S????

| To ze pole to wynosi (1/2)*S to jest oczywiste, ale jak to
udowodnić????

| Wystarczy dowiesc, ze gdy podstawa trojkata pokrywa sie z jednym z bokow
| prostokata i trzeci punkt trojkata lezy na przeciwleglem boku. to pole
| jest najwieksze. A to juz jest proste.

| --
| Pozdrawia:
|          Marek Biskup

| Skoro to takie proste moze ktos to w koncu rozwiaze??? :)

Jeszcze nie wiesz???

Polo trojkata, to 1/2 a*h.
Wezmy pewien trojkat o maksymalnym polu. Wtedy jesli ktorys z jego
wierzcholkow nie lezy na krawedzi, to mozemy zwiekszyc wysokosc trojkata
i sprzecznosc.
Mamy wiec 3 punkty na krawedziach.
.... i dalej musze miec kartke, zeby to narysowac. W kazdym razie da sie
odeslac tez dwa punkty do rogow i pozostaly na przeciwlegly bok.

--
Pozdrawia:
         Marek Biskup



Dalej nie wiem jak wyprowadzic wzor na pole trojkata, ktory bylby zalezny od
pola prostokata. Ten wzor to chyba powinna byc jakas funkcja kwadratowa czy
cos takiego. Niestety nie wiem jak to zrobic.

zadanie z liceum


Cytat:Przekatna trapezu rownoramiennego tworzy z jego bokami kąty L(alfa) i B
(beta) - kąty o wspólnym wierzcholku. Oblicz stosunek pol trojkatow, na
jakie ta przekatna podzielila trapez.

Wynik podany w odpowiedziach to : sin (2 L +3) /sin L



Nie wiem czy to jest najprostszy sposob, ale wyszlo (oczywiscie zamiast tej
3 w odpowiedzi jest "beta"). Zrobilem tak:
Oznaczmy:
a, b - podstawy,
c - ramiona,
d - przekatne.

Zakladajac, ze ten trapez rownoramienny nie jest rownoleglobokiem, wynika,
ze mozna na nim opisac okrag. A zatem stosujemy tw. Ptolemeusza:

d^2 = a*b + c^2

Nastepnie z tw. sinusow dla jednego z powstalych trojkatow wyznaczamy c^2
oraz d^2 w funkcji a i b.

Zauwaz, ze stosunek pol obu trojkatow = stosunkowi podstaw (ze wzoru na pola
obu trojkatow), a wiec a/b. Wstawiamy zatem za np. "a" to, co wyszlo z
poprzednich przeksztalcen i otrzymujemy:
a/b = [(sin(180 - alfa - beta))^2 - (sin(alfa))^2] / (sin(beta))^2.
Aby dojsc do wyniku z odpowiedzi musisz to troche uproscic. Na poczatku
zastosuj wzor na sin(x))^2 - sin(y))^2 (poszukaj w tablicach), a potem dwa
razy wzory redukcyjne i voila.

Tom

zadanie z liceum


Cytat:Nie wiem czy to jest najprostszy sposob, ale wyszlo (oczywiscie zamiast tej
3 w odpowiedzi jest "beta"). Zrobilem tak:



Może lepiej jednak skorzystać ze wzoru na pole trójkąta
(a*b*sin(alfa))/2 gdzie a i b to boki trójkąta a alfa to kąt między
nimi. Potem pokombinować z kątami jakie tworzy przekątna z bokami i
podstawami. Jeden z nich to 180-2alfa-beta... Jako niewiadome wystarczy
wprowadzić długość boku i przekątną.

Michał Marcinkowski

zadanie z liceum

Cytat:Czesc!

Mam do Was prosbe, poniewaz nie potrafie rozwiazac takiego zadania
(pochodzi
ze zbioru zadan Drobki dla klas III i IV liceum - zad. 173)

Przekatna trapezu rownoramiennego tworzy z jego bokami kąty L(alfa) i B
(beta) - kąty o wspólnym wierzcholku. Oblicz stosunek pol trojkatow, na
jakie ta przekatna podzielila trapez.

Wynik podany w odpowiedziach to : sin (2 L +3) /sin L

Moze ma ktos jakies propozycje jak to zrobic :)



Na moj gust, to zadanie zawiera sprzeczne informacje. Jezeli zalozymy, ze
trapez ma 2 boki i 2 podstawy, to zadanie mozna rozwiazac w pamieci:
sinL/sinB.
Ale dalej czytamy, ze "katy o wspolnym wierzcholku" co kloci sie z pierwsza
koncepcja -- nie uwazacie??
W tym wypadku -- no prawie w pamieci -- sinL/sin(L+2B).
Wytarczy wykorzystac wzor na pole trojkata: (a*b*sinL)/2

Pozdr
Rob

Chyba siĂŞstarzejĂŞ - problem z zadaniem

Dziękuję za rzeczową odpowiedź, ale problem pozostał...
[..]

Cytat:Odrobinę trudniej z St2 ponieważ jego boki wynoszą a, Sqrt(a^2+h^2),
Sqrt( (Sqrt(2)*a)^2 + h^2 ). Mam nadzieję, że pole trójkąta o znanych
bokach jest Panu znane.

Z tego da się wyliczyć h jako funkcję S i a.



Wzór Herona - jak najbardziej, tylko dla boków w stylu Sqrt(a^2+h^2) daje on
bardzo pokręcone równanie i nijak nie wychodzi mi z tego wszystkiego ładna
zależność h = cośtam.

Cytat:

Jeśli znowu "narysować" go sobie w głowie to objętość
V=2*( 1/2 * 1/2 * a*a*h ).



A nie V=2*(1/3*1/2*a*a*h)?

BogdanKa
PS.
Pozostałym dziękuję za wiarę w moje możliwości ;)
(że to dwa przystające trójkąty prostokątne to widzi każdy, przecież wspomniałem
o pitagorasie ;)

Trapez

Cytat:Zadanie:

W trapezie ABCD o dłuższej podstawie AB=a i krótszej DC=b przekątne
przecinają
się w punkcie O oraz AB:DC=k. Pole trójkąta DOC jest równe S. Jakie jest
pole
trapezu?( bez danych za pomocą symboli).
Dziekuję i pozdrawiam.



Nie wiesz od czego się zabrać do tego zadania, czy nie umiesz przekształcać
wzorów?

Z pozoru proste

Tak, chodzilo o wnetrze. Probowalem sinusami i cosinusami, dostaje tez uklad
trzech rownan z porownania wzoru Herona i wzoru na pole trojkata z
wykorzystaniem sinusa kata pomiedzy dwoma odcinkami, ale nie moge tego
wszystkiego poukladac.

Marek

Cytat:

| Mam do rozwiazania pewien problem. Konstruuje urzadzenie, ktore musi
| potrafic obliczac sobie odleglosci od trzech punktow.
| Mam trojkat ABC i urzadzenie znajduje w punkcie M w srodku trojkata.
Znam
| dlugosci odcinkow AB, BC, CA oraz katy AMB, BMC, CMA. Musze obliczyc
| dlugosci odcinkow: AM, BM i CM.
| Czy ktos moze mi pomoc?
| Pozdrawiam i z gory dzieki,
| Marek

A nie da sie 3ma twierdzeniami cosinusow ? Powinienes dostac 3 rownania
z 3ma niewiaomymi :/ A to juz powinno sie jakos poustawiac. Jakby cos
sie nie dawalo obliczyc zawsze mozna zarzucic 9cioma twierdzeniami
sinusow i to powinno pomoc.

Poza tym trojkat ma kilka srodkow, a tobie pewnie biegalo o wnetrze.

--
Oko za Oko.. póki nie oślepnie cały świat

Eich 01



Z pozoru proste


Cytat:Tak, chodzilo o wnetrze. Probowalem sinusami i cosinusami, dostaje tez uklad
trzech rownan z porownania wzoru Herona i wzoru na pole trojkata z
wykorzystaniem sinusa kata pomiedzy dwoma odcinkami, ale nie moge tego
wszystkiego poukladac.



Z twierdzenia cosinosow dla duzego 3jkata.

AB^2 = AC^2 + BC^2 -2AC*BC*cos(ACM+MCB)
...(3 razy)

dostajesz stad:
cos(BAM+MAC) = K1 = cos(BAM)cos(MAC)-sin(BAM)sin(MAC)
cos(CBM+ABM) = K2 = cos(CBM)cos(ABM)-sin(CBM)sin(ABM)
cos(ACM+MCB) = K3 = cos(ACM)cos(MCB)-sin(ACM)sin(MCB)

twierdzenie sinusow dla malych 3jkatow
AB/sin(AMB) = C1 = AM/sin(ABM) = BM/sin(BAM)
...(3 razy)
dostajesz:
sin(BAM)=BM/C1

twierdziene cosinusow  dla malych 3jkatow
AM^2 = AB^2 + BM^2 -2*AB*BM*cos(BAM)
...(9 razy)
dostajesz:
cos(BAM) = -(AM^2-AB^2-BM^2)/2*AB*BM

wstawiasz teraz sin'y z tw sinusow i cos'y z tw cosinusow i nagle
wszystkie katy ci znikaja. i dostajesz 3 rownania z 3ma niewiadomymi
(szukanymi bokami).

(moglem sie gdzies pomylic w literkach)

Z pozoru proste

Dzieki wielkie. Buduje kosiarke samobiezna, ktora na podstawie danych z 3
odbiornikow kosi trawnik:)
Za chwilke to jeszcze raz przelicze i sprobuje wprowadzic do komputera.
Pozdrawiam,
Marek
Cytat:

| Tak, chodzilo o wnetrze. Probowalem sinusami i cosinusami, dostaje tez
uklad
| trzech rownan z porownania wzoru Herona i wzoru na pole trojkata z
| wykorzystaniem sinusa kata pomiedzy dwoma odcinkami, ale nie moge tego
| wszystkiego poukladac.

Z twierdzenia cosinosow dla duzego 3jkata.

AB^2 = AC^2 + BC^2 -2AC*BC*cos(ACM+MCB)
...(3 razy)

dostajesz stad:
cos(BAM+MAC) = K1 = cos(BAM)cos(MAC)-sin(BAM)sin(MAC)
cos(CBM+ABM) = K2 = cos(CBM)cos(ABM)-sin(CBM)sin(ABM)
cos(ACM+MCB) = K3 = cos(ACM)cos(MCB)-sin(ACM)sin(MCB)

twierdzenie sinusow dla malych 3jkatow
AB/sin(AMB) = C1 = AM/sin(ABM) = BM/sin(BAM)
...(3 razy)
dostajesz:
sin(BAM)=BM/C1

twierdziene cosinusow  dla malych 3jkatow
AM^2 = AB^2 + BM^2 -2*AB*BM*cos(BAM)
...(9 razy)
dostajesz:
cos(BAM) = -(AM^2-AB^2-BM^2)/2*AB*BM

wstawiasz teraz sin'y z tw sinusow i cos'y z tw cosinusow i nagle
wszystkie katy ci znikaja. i dostajesz 3 rownania z 3ma niewiadomymi
(szukanymi bokami).

(moglem sie gdzies pomylic w literkach)

--
Oko za Oko.. póki nie oślepnie cały świat

Eich 01



zadanie z geometrii 3d

Cytat:W prawidlowym ostroslupie trojkatnym krawedz boczna jest dwa razy dluzsza
od
krawedzi podstawy. Oblicz cosinus kata utworzonego przez dwie sasiednie
sciany boczne.



Kr. podst = a
Kr. boczna = 2a

Kat pomiedzy scianami jest to kat pomiedzy wysokosciami (H) trojkatow
ktorymi sa te
sciany = Q (ten kat)

Wzor na pole sciany to
P = 1/2 * (2a) * H
I z Herona
P = sqrt(5/2 * a * (5/2a -a)(5/2a - 2a)^2)

Porownujemy i otrzymujemy:

H = sqrt(15)/4 *a

Podstawiamy do wz. cosin.

a^2 = 2(sqrt(15)/4 *a)^2 - 2(sqrt(15)/4 *a)^2 cos(Q)

po przekszt:

cos(Q)= 7/15

Moze byc ??????

zadanie z geometrii 3d

Cytat:
Kat pomiedzy scianami jest to kat pomiedzy wysokosciami (H) trojkatow
ktorymi sa te
sciany = Q (ten kat)

Wzor na pole sciany to
P = 1/2 * (2a) * H
I z Herona
P = sqrt(5/2 * a * (5/2a -a)(5/2a - 2a)^2)

Porownujemy i otrzymujemy:

H = sqrt(15)/4 *a



To można chyba policzyć z Pitagorasa. Przecież bok tego ostrosłupa to
trójkąt równoramienny, a wysokość podzieli go na tr. prostokątne o bokach
1/2a, 2a, H

geometria figor plaskich


Cytat:Witam.
Bardzo proszę o pomoc.
Goooglam od dwoch dni (pewnie słabo), ale nie potrafię znaleźć wzoru na
obliczenie pola powierzchni wycinka koła ograniczonego cięciwą. Wszystko
co znalazłem to wzrór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie
środkowym alfa. Niestety nie znam i nie poznam kąta zawartego między
promieniami. Znam tylko promień koła i długość cięciwy.
W ogóle to sprawa jest banalna. Muszę policzyć ile cieczy zmieści się w
leżącym walcu i napełnionym do pewnej wysokości.



Masz jakiś zakaz używania tego kąta, czy jak?

Niech alpha będzie kątem między promieniami. Jeżeli znasz długość
cięciwy d, to obliczasz sinus (alpha/2) = d/2r. Z jedynki
trygonometrycznej obliczasz cos (alpha/2), następnie sin(alpha)=
2sin(alpha/2)cos(alpha/2). Pole trójkąta utworzonego przez promienie
i cięciwę to (1/2)*r^2sin(alpha). Potem bierzesz pole wycinka i
odejmujesz ten trójkąt.

Ale pewnie jest jakiś prostszy wzór...

Pzdr,
M.

geometria figor plaskich


Cytat: nie potrafię znaleźć wzoru na
obliczenie pola powierzchni wycinka koła ograniczonego cięciwą.
..
Znam tylko promień koła i długość cięciwy.



no to klops. Długość cięciwy na 'dole' koła jest równa zero. Potem
rośnie do 2R (w środku koła) a dalej znów malej do zera. Czyli mamy dwie
identyczne wartości cieciwy a pola .. różne. Tak sformułowany problem
nie ma rozwiązania.

Cytat:W ogóle to sprawa jest banalna. Muszę policzyć ile cieczy zmieści się w
leżącym walcu i napełnionym do pewnej wysokości.



To jest zupełnie inny problem!. Nie długość cięciwy tylko wysokość, na
której jest ta cięciwa.

Szkic rozwiązania dał ci już Marcin ( należy jedynie uwzględnić, że dana
jest wysokość a nie cięciwa).
Powiem tylko,że ten kąt,na których opierają sie twoje promienie oblicza
sie tak alfa = 2*arccos(1-h/R)
Potem już tylko pole wycinka koła ( ale trudne ;) ) minus pole trójkąta
równoramiennego.

Mam nadzieję że sam dokończysz. Na wszelki wypadek podam ci wynik końcowy
Twoje Pole = R^2 ( (s-1) * sqrt( s*(2-s)) + arccos(1-s)
gdzie s = h/R

okregi przecinajace sie...


Cytat:jaki jest wzor na pole czesci wspolnej okregow przecinajacych sie
wzajemnie?
Problem: Mam dwa okregi przecinajace sie. Pierwszy o promieniu 2,
drugi o promieniu 1. Srodek okregu drugiego "lezy na obwodzie"
pierwszego. Nalezy obliczyc pole czesci wspolnej tych okregow.



Cały problem w tym zadaniu polega na znalezieniu kąta w pewnym
trójkącie równoramiennym, o danych trzech bokach.
Niech o1(P,1), o2(Q,2) i niech R=o1*o2, czyli punkt przecięcia okręgów,
a P należy do o2. Łatwo zauważyć, że PQR jest równoramienny i że dana
jest również jego podstawa. Podobnie, gdy P należy do o1.

Hej grupa ! Pytanie za 100pkt ....dawno tu nie bylem !

Hmm.... ja bym to tak rozwiązał ;]
Niech punkt C ma współrzedne (x;y)
wzór na promien okregu wpisanego w trójkąt jest 2P/(a+b+c) gdzie P pole
trojkata,  a, b i c to jego boki.
Obliczam P ze wzoru herona, dlugosci bokow tez moge obliczyc i mam rownanie
z dwiema niewiadomymi. Wyznaczam prostą prostopadłą do AB i przechodzącą
przez punkt S i mam już dwa rowniania z dwiema niewiadomymi :]
ale pewnie da sie to jakos prosciej zrobic.... (ale jak sie nie wie to kazdy
sposob jest dobry ;))

Kilka zadanek na egzamin wstepny- prosze o pomoc (do ponie działku!)


Cytat:| 5. Znaleźć długości boków trójk. prostok. opisanego na okręgu r=1,  który
| ma największe pole (trójkąt).

|  Nie mogę dojść do wzoru na pole tego trojkąta dla 1 zmiennej, żeby  
|  wyliczyć pochodną.

Pole takiego trójkąta może być dowolnie duże. Może chodzi o trójkąt
wpisany albo o minimalne pole?



Sorry - najmniejsze pole

Cytat:| 7. Egzotyczny stół bilardowy to taki, w którym suma kątów padania i odbicia
| jest równa 90 stopni. Stołem jest kwadrat ABCD o boku 1. Kula startuje z
| punktu P na boku AP, uderza w punkt Q (bok BC), potem R (CD), S (DA) i
| wraca do punktu P. |AP| = d, |BQ| =?

|  Są dwa przypadki ( PQRS może być kwadratem -AP=BQ, PQRS prostokątem -
|  tutaj wysiadam)

1' |BQ| = d
2' |BQ| = 1-d



Tak, ale jak do tego dojść?

Miara Lebesgue'a zbioru

Madame_k_c:

Cytat:Zbior Z zawarty w <0,1; jednowymiarowa miara Lebesgue'a
zbioru Z to 0, a Zo zawarte w R^2 jest suma odcinkow
o koncach (0,1) i (x,0) gdzie x nalezy do Z.

Czy Zo jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue'a?
Jaka jest jego dwuwymiarowa miara Lebesgue'a?



Twoj zbior jest (uogolnionym) trojkatem, o wysokosci  h=1.

Pokaz ogolnie, ze gdy  Z  jest mierzalne,
o jednowymiarowej mierze  m(Z),  to dwuwymiarowa
miara  M(Zo)  wynosi:

      M(Zo) = (h*m(Z))/2 = m(Z)/2

(zgodnie ze wzorem na pole trojkata;
Twoim wypadku dostaniesz wiec 0).

Powodzenia,

    Wlodek

Liczenie Pola

Cytat:Czy mozna obliczyc pole wielokata majac dane tylko jego obwod lub
wszystkie
wierzcholki ?



Sam obwód nie wystarczy.
Jeśli natomiast znamy wszystkie wierzchołki, to można podzielić wielokąt
na trójkąty, i zsumować ich pola.
Wzór na pole powierzchni trójkąta znasz?

T. D.

czy to da sie rozwiazac ?

Co do wyprowadzenie: wzór na pole trójkąta P=1/2 a b sin(alpha) oraz wzór
cosinusów. Używasz tego dla 4 trójkątów na które dzieli się czworokąt...
Paweł

Cytat:| W czworokacie wypuklym sa podane 4 boki o dlugosciach : a, b, c, d
oraz
| kat
| pod jakimi przecinaja sie przekatne, o miarze alfa. Policzyc pole tego
| czworokata.
| Czy to da sie rozwiazac ?

| Da się.

nie dziala mi ten link :D
| Patrz: www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/
| Paweł

wiec moze tutaj przedstawisz to rozwiazanie ? :D

z gory dizekuje

Pozdrawiam...

--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl



Zadanie 3


Cytat:Jak się oblicza pole trojkąta mając dane tylko jego 3 punkty współrzene na
osi współrzędnych ? (długośc tych bokow obliczylem , ale nie wiem jak
obloczyć wysokosc ... )



Wzór Herona :
P=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)), gdzie p=(a+b+c)/2

Pozdrawiam.
Piotr.

Okrag zadany przez 3 punkty

Cytat:Szukam wzoru na pozycje srodka i promien okregu na ktorego obwodzie leza 3
dane punkty.

Czyli dane sa (x1,y2)(x2,y2)(x3,y3), a wynikiem ma byc (x,y,r) okregu na
ktorego obwodzie znajduja sie te 3 punkty.

Nie bardzo wiem jak to sie "oficjalnie" nazywa wiec wygooglac sie nie



udalo.

Zgadzam sie z kolegami, aby skorzystac ze wzoru na równanie okregu i
popodstawiac tam wspólrzedne znanych punktów, albo skorzystac z tego, ze
odleglosci od srodka okregu do danego punktu sa takie same, ale jeszcze
rozwazmy przypadek kiedy te punkty wyznaczaja wierzcholki trójkata
prostokatnego. Wtedy mamy sprawe ulatwiona, bo srodkiem okregu jest srodek
przeciwprostokatnej, a dlugosc promienia jest równa polowie jego
przeciwprostokatnej.
Niech przeciwprostokatna bedzie odcinek o koncach A=(xA, yA) oraz B= (xB,
yB), wtedy srodkiem okregu jest punkt o wspólrzednych S =
((xA+xB)/2,(yA+yB)/2)
            pozdrawiam, Kera

Brak pomyslu

Cytat:imieniem wystarcza juz za gwarancje jego prawdziwosci?



Ale to z tymi średnimi też jest "czyjeś",
ale tego nie ma w programie wymyślonym
przez szanownego pana ministra i za to odpowiedzialnych.
I o ile się na lekcji używa
wielu twierdzeń i wzorów, to np. na maturze
trzeba większość z nich udowodnić !

Kolega stwierdził, że na maturze zasadniczej
będzie wyprowadzał wzór na pole każdego trójkąta
z całki oznaczonej, bo może i tego ktoś nie znać !

PARANOJA, jak wszędzie w Polszcze.

pole wycinka kolowego

Dnia 2005-02-16 12:17 rombers nabazgral:

Cytat:wydaje mi sie ze wprost sie tego nie da wyliczyc. We wzorze na A (18),
szukanym parametrem jest h a jest on pod cos-1.
Nie orientuje sie ktos jak numerycznie wyszukac rozwiazanie tego
rownania??
Pewnie trzeba bedzie zalozyc jakies h i eps jako dokladlosc obliczen,
tylko jak to przeszukiwanie rozpisac mozliwie prosto?



A mi sie wydaje, ze myslenie ma przyszlosc.
Zatem spojrz na ten obrazek z podanego linka. I co widzisz? Bo ja widze:
-wycinek kola- na ktorego pole mamy wzor (zgadza sie?)
-obszar- w twoim przypadku poprzeczny przekroj zalanej czesci kanalu
-trojkat rownoramienny o wysokosci rownej d (na tym rysunku)

Zauwazyc nalezy, ze pole obszaru jest rowne pole wycinka minus pole
trojkata. Dodatkowo R=h+d.
Dalej juz proste?
Jak nie to napisz bardziej szczegolowo, jakie sa dane wejsciowe i jakie
maja byc wyjsciowe, a sie zastanowimy.
Powodzenia w kombinowaniu.

zadania z matematyki - o pomoc proszę

Cytat:1. Wiedząc, że dziedziną funkcji f(x)= x/(x^2 - 6x + k) jest zbiór
wszystkich
licb, rzeczywistych, wyznacz wartość parametru k



jak pisał kolega powyżej, jaki musi być spełniony
warunek w przypadku ułamka a/b?? Jak do tego dojdziesz
to już masz rozwiązanie.

Cytat:

2. Zbadaj w zależności od parametru m liczbę rozwiązań równania:
     m+x      x-m
    ------ = ------
     2m-x     1-x



musisz ustalić warunki jak dla zad.1 i przekształcić
do postaci wielomianu i rozpatrzyć warunki.

Cytat:

3. Dla jakich wartości parametru a, równanie



sqr(2)sinX+4sinXcosX+sqr(2)cosX=a

tu nie bardzo wiem bo nie pamiętam wzorów
trygonometrycznych

Cytat:

4. Dla jakich wartości alfa <0;2pirownanie:
        (2sin ALFA - 1)4^x + 2^(x+1) + sin ALFA = 0
   ma dwa rózne pierwiastki



podstaw za 2^x coś tam i już z górki :D

Cytat:

5. Trzy koła o promieniach r1 = sqr(3)-1    r2 = sqr(3)+1    r3=3-sqr(3)

styczne zewnętrznie. Oblicz pole figury zawartej między tymi kołami



wyznacz długości boków trójkąta i przyjżyj się :)
dostaniesz bardzo przyjazny trójkącik :)
Potem oblicz odpowiednie różnice pól i dostaniesz
pole figury.

Teraz już sobie dasz radę :)

Pozdrawiam
Darek

Proszę o pomoc w znalezieniu błędu.


Cytat:http://matma.prx.pl/geometria/trojkaty.php
Mam problem. Ktoś mi przysłał maila, że w tym pliku a dokładniej we wzorach
na pole jest błąd , ale ja go nie mogę znaleźć. Możecie mi pomóc??



Moze nie we wzorach, ale to zdanie mi sie nie podoba:
"Każdy punkt symetralnej odcinka jest równoległy od jego końców."
punkt rownolegly? rownolegly do koncow? :) raczej rowno_od_legly
- Szwejk

Proszę o pomoc w znalezieniu błędu.

Cytat:http://matma.prx.pl/geometria/trojkaty.php
Mam problem. Ktoś mi przysłał maila, że w tym pliku a dokładniej we
wzorach
na pole jest błąd , ale ja go nie mogę znaleźć. Możecie mi pomóc??



Zdaje sie ze wzór na pole trojkata równobocznego powinien miec w mianowniku
4 a nie 3... :)

Proszę o pomoc w znalezieniu błędu.

Cytat:

| http://matma.prx.pl/geometria/trojkaty.php
| Mam problem. Ktoś mi przysłał maila, że w tym pliku a dokładniej we
wzorach
| na pole jest błąd , ale ja go nie mogę znaleźć. Możecie mi pomóc??

Zdaje sie ze wzór na pole trojkata równobocznego powinien miec w mianowniku
4 a nie 3... :)



S=a^2*sqrt(3)/4=h^2*sqrt(3)/3

Pzdr Czeslaw

Proszę o pomoc w znalezieniu błędu.

Cytat:

| | | http://matma.prx.pl/geometria/trojkaty.php
| Mam problem. Ktoś mi przysłał maila, że w tym pliku a dokładniej we
| wzorach
| na pole jest błąd , ale ja go nie mogę znaleźć. Możecie mi pomóc??

| Zdaje sie ze wzór na pole trojkata równobocznego powinien miec w
mianowniku
| 4 a nie 3... :)

S=a^2*sqrt(3)/4=h^2*sqrt(3)/3

Pzdr Czeslaw



Skąd te "s" wziąłeś??  i co to te sqrt?

pole trojkata

Cytat:Pewnie proste...
Jak obliczyc pole trojkata majac podane dlugosci jego bokow?
Dzieki
wisard

--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl



Ze wzoru Herona:
S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdzie p=(a+b+c)/2
Nawiasem mówiąc, wszystko jest w tablicach matematycznych... A poza tym
mógłbyś spróbować sobie wyprowadzić - zawsze się lepiej zapamięta.

Pozdrawiam,

Michał

pole trojkata

Cytat: | Pewnie proste...
| Jak obliczyc pole trojkata majac podane dlugosci jego bokow?
| Dzieki
| wisard

| --
| Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl

Ze wzoru Herona:
S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdzie p=(a+b+c)/2
Nawiasem mówiąc, wszystko jest w tablicach matematycznych... A poza tym
mógłbyś spróbować sobie wyprowadzić - zawsze się lepiej zapamięta.

Pozdrawiam,

Michał



Stokrotne dzieki :-)
Sorki, niestety nie mam pod reka tablic
Pozdrawiam
wisard

Cytat:


--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl

pole wielokata lub trojkata

Cytat:
Czy moze mi ktos podpowiedziec jak obliczyc pole wielokata majac dane tylkoo
wspolrzedne wierzcholkow.
albo jak obliczyc pole trojkata majac dane wspolrzedne wierzcholkow?

z gory  za odpowiedz thx



To chyba trzeba dac do FAQ...

Pole trojkata obliczamy, wstawiajac wspolrzedne do jednego z kilku
wzorow na pole trojkata w podreczniku. Np. tego z wyznacznikiem Grama.

Pole wielokata wypuklego mozna obliczyc, obliczajac wspolrzedne srodka
(ciezkosci) wielokata (srednie arytmetyczne wspolrzednych
wierzcholkow) i sumujac pola trojkatow, utworzonych przez srodek i
kazda pare kolejnych wierzcholkow.

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!

pole trójkąta

Cytat:Piszę program badający przecięcie trójkąta z półprostą i potrzebuję
wzoru na pole trójkąta.
Znam wzór na pole trójkąta, gdy dane sa jego wierzchołki w 2d (tzn. 1/2
wyznacznika ...).
Czy istnieje taki wzór dla przestrzeni 3d?



Pewnie tak, ale zawsze mozna sobie to wektorowo policzyc.

Czworokat o rownych bokach - problem

Cytat:| Wg. mnie to musi być romb. A przekątne są po to, żeby zasugerować, że
nie
| jest to kwadrat. Co by niedomówień nie było... ;-)

W zasadzie, to nie ma tu czego sugerowac, bo nie pytaja o kwadrat, tylko o
romb.

Tom



Gdyby nie było przekątnych, mógłby być to romb albo kwadrat. I teraz zaczyna
się kłótnia dzieci z Panią matematyczką, czy kwadrat jest rombem... :-)
Tak więc lepiej nie ryzykować i dmuchać na zimne.
A co do zastanawiania się, czy taki czworokąt istnieje i czy jest rombem, to
można tak (i będą przydatne przekątne):
Liczysz pole ze wzoru na pole rombu: P = e*f/2 (e,f - przekątne)
Liczysz pole dwóch trójkątów (P1 = 0.5*e*f/2, P2= 0.5*e*f/2) P=P1+P2=e*f/2

Ergo: Ta figura jest rombem, I TYLE!!

Pozdrawiam, Kubryk

Czworokat o rownych bokach - problem

Cytat:Liczysz pole ze wzoru na pole rombu: P = e*f/2 (e,f - przekątne)
Liczysz pole dwóch trójkątów (P1 = 0.5*e*f/2, P2= 0.5*e*f/2) P=P1+P2=e*f/2

Ergo: Ta figura jest rombem, I TYLE!!



Ale powyzszy wywod nie dowodzi, ze ta figura jest rombem. Po prostu
zakladasz, ze jest. Liczysz dwa razy pole przy uzyciu tylko obu przekatnych.
W zadaniu jest jeszcze dany bok (tzn. w zasadzie wszystkie). Wiec dla tego
boku ten czworokat bedzie rombem? A co by bylo, gdyby bylo dane, ze bok ma
dlugosc nie 5,8 cm, a np. 6,1 cm? Czy dalej ten czworokat bedzie rombem?

Tom

geometria plaszczyzny - zadanie z trojkatem

To samo zadanie jest na maturce z ktoregos tam roku.. tyle ze te pola:
s1, s2, s3 sa odpowiednio: a^2, b^2, c^2...
Robisz tak, ze.. wysokosc duzego trojkata jest suma wysokosci tych 3...
podstawa duzego jest tez suma podstaw... walisz najprostszy wzor na
pole.. podst x wys /2... i mnozysz.. dostajesz duzo brzydkich
wyrazow..;P  z tego ze te rojkaty sa podobne dostajesz takie cus:
podstawa c x wysokosc a = podstawa a x wysokosc c... i tak smao z
reszta.. czli z b i c i z a i b...
z tego zbioru brzydkich wyrazow, ktore dstajesz po wymnozeniu skladnikow
wzoru na pole duze trojkata, zauwazasz zezostaje z niego tylko:
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2ac + 2bc...
zapytasz pewnie skad wziac 2ab majac tylko a^2 i b^2? :D musisz wymozyc
sobie wzor na pole A i pole B, zastosowac zaleznosc podstaw i wysokosci
wspomniana wyzej i wypierwiastowac :D

pozdr.
fater

Rozne wzory na pole trojkata

Otoz jak w temacie chodzi o jak najwiecej roznych
wzorow na obliczenie pola trojkata.

Potrzebne mi to do szkoly jako ciekawostka...

Szukam w internecie, narazie skutki dosyć marne,
wiec może tutaj znajdę pare przykladow...

Z gory bardzo dziekuje za jakąkolwiek odpowiedz
(moze byc jakis Url, jezeli ktos zna)

pozdrawiam
Maciek Kalbarczyk

PS
jezeli takie pytanie bylo niedawno zadawane, to
przepraszam...

potrzebna pomoc

Cytat:Jakiego rodzaju watpliwosci?



Mojemu koledze wyszlo podobnie- tylko na poczatku mial 1/2, ale przeliczalem
juz 2 razy i wychodzi mi tak jak podalem.

Jesli chodzi o pierwsze zadanie to zaczalem od rowaniania podanego w
zadaniu. Zapisalem kilka równan Pitagorasa oraz rowanania na pola powstalych
trojkatow. Po podstawianiu nie doszedlem do wyniku.
Ostatecznie otrzynalem ze h[1]^2 + h[2]^2 + h[3]^2 = (c^4+324 ) / (9c^2) a w
zadaniu musi wyjsc konkretna liczba.

W zadaniu 3 umiescilem kąt w ukladzie wspolrzednych i chcialem rozwiazac
problem analitycznie. Jednak jak zapisalem wzor na obwod (suma trzech
pierwiastkow)  i jak zaczalem liczyc pochodną to zrezygnowalem. Trzeciego
zadania nikt nie zrobil w klasie, nauczyciel ma tylko wynik bez rozwiazania
i sam raczej nie potrafi go rozwiazac.

Ps. Na prace domową te zadania wydają mi sie troche za trudne z uwagi, ze
nie jestem w klasie matematycznej. 10 osob zdaje z mojej klasy matme i
nauczyciel daje nam codziennie trudniejsze zadania i stawia za nie dodatkowe
punkty. Wiec jesli ktos potrafi mi pomoc to bede bardzi wdzieczny

dywan Sierpińskiego, prośba

Cytat:To trójkąt Sierpińskiego może mieć pole?
Wydaje mi się, że jakby miał jakieś pole S, to musiałoby zachodzić 3/4 S = S
(bo trójkąt można podzielić na 3 kawałki o polu 4 razy mniejszym). A tego
żadna liczba dodatnia nie spełnia.
Niech mnie ktoś poprawi, jeśli palnąłem głupotę.



Prosze bardzo: trojkat Sierpinskiego ma pole. Twoje rozumowanie nie prowadzi do
sprzecznosci. Zadna liczba DODATNIA
tego wzoru nie spelnia, ale pole spelnia.

Tomek

dywan Sierpińskiego, prośba

Cytat:| To trójkąt Sierpińskiego może mieć pole?
| Wydaje mi się, że jakby miał jakieś pole S, to musiałoby zachodzić 3/4 S
= S
| (bo trójkąt można podzielić na 3 kawałki o polu 4 razy mniejszym). A
tego
| żadna liczba dodatnia nie spełnia.
| Niech mnie ktoś poprawi, jeśli palnąłem głupotę.

Prosze bardzo: trojkat Sierpinskiego ma pole. Twoje rozumowanie nie
prowadzi do
sprzecznosci. Zadna liczba DODATNIA
tego wzoru nie spelnia, ale pole spelnia.

Tomek



Tak, tak, dopisz "jakby mial DODATNIE pole S". Myslalem, ze nikt nie zauwazy
:)

Lech Duraj

Takie tam, geometria

Cześć:)

Mam prośbę. Właśnie usiłuję siostrze wytłumaczyć pracę domową i e... no niby
ją zrobiłem, ale założę się, że jest prostszy sposób.
Treść zadania:
 dany jest czworokąt foremny, długość boku a=10. Obliczyć pole powierzchni
oraz objętość.
 No dobra, pole to nie problem, liczymy sobie wysokość trójkąta
równobocznego albo korzystamy ze wzoru na takiego powierzchnię, mnożymy
przez cztery i jest piękne pole.
 Z objętością gorzej ale też idzie sobie poradzić. 10 do kwadratu - Połowa
wysokość do kwadratu = wysokość czworokąta do kwadratu. Pierwiastek, mamy
wysokość, liczymy.

Ale tak sobie pomyślałem, czy nie ma na to jakichś wzorów? Wzoru na pole
powierzchni i na objętość?

TIA

PS: pisałem to wszystko, żeby nie było, że nie mogę pracy rozwiązać ;) ot,
myślę czy da się łatwiej :D

p.Łukasz

Takie tam, geometria

Cytat:To może będzie jakiś bardziej ogólny wzór?
Coś jak dla trójkąta równobocznego (Pp) (a^2*Pierw(3))/4.



A myslisz skad wzial sie ten wzor ? (bo pole to a^2, no ale trojkąta, to musi
byc jakas trójka..., no ale ze nie do konca, wiec bedzie pierwiastek, a zeby
bylo smieszniej jeszcze przez 4 ?)

wzor pochodzi stad, ze w trojkacie rownobocznym h=a*piew*(3)/2
a poniewaz pole
P = 1/2 * a * h
wiec otrzymujemy
a^2*Pierw(3))/4

Cytat:Powiedzmy, że tu nie dzielę przez cztery - no i mam wzór
na Pp takiego ostrosłupa (czy też w tym przypadku czworościanu, na jedno
wychodz). Teraz kwestią jest wzór na objętość bez szukania wysokości :D



Ta sama metoda wyprowadzic mozna wzor na H, podstawic do ogolnego i ostatecznie
dostajemy
V = a^3*pierw(2)/12
... no a tu o wysokosci juz mozna zapomniec :)

Neino

Geometria zadanko

Jak udowodnic ze jezli dowolny czworokat wypukly przedzielimy przekatnymi i
na kazdym powstalym z czterech trojkatow opiszemy okrag to ten czworokat to
romb.
Promienie wszystkich okregow sa oczywiscie rowne.

wydaje misie ze trzeba zastosowac wzor na pole torkata S=abc/4R ale nie wiem
co
dalej . Prosze pomozcie

podrecznik dla liceum

Twierdzenia i dowody (nie tylko z geometrii) znajdziesz w podrecznikach R.
Kalina, T. Szymanski, F. Linke - "Matematyka dla klasy.... szkoly sredniej".
Dowod tw. sinosow, cosinusow, iloczyn skalarny, wyprowadzenie wzoru na pole
trojkata, gdy znamy wspolrzedne wierzcholkow i inne znajdziesz w podreczniku
dla klasy II.
Ta seria podrecznikow jest naprawde dobra!!
Pozdrawiam, Agnieszka

Cytat:Witam!
Na wczoraj musze opracowac dowody kilkunastu twierdzen obowiazujacych
w liceum - twierdzenia glownie z geometrii (Pitagorasa, sinusow,
cosinusow). Problem polega na tym, ze w moim (bardzo niematematycznym)
liceum takich dowodow po prostu nie przeprowadzalismy. Stad moje
pytanie: czy znacie ksiazke, w ktorej mozna znalezc takie wlasnie
dowody (oczywiscie na  poziomie liceum). Bardzo bede wdzieczny za
jakas pomoc.

ps.przepraszam jesli ta wiadomosc doszla do Was podwojnie (lub potrojnie)

pozdrawiam serdecznie, Marcin Wojdak

--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl



matura Alberta E.


Cytat:Geometria:
1) W trójkąt o wysokościach spelniających związek: h_1:h_2:h_3 = 2:3:4
jest wpisany okrąg o promieniu 10. Nalezy znaleLc kąty tego trójkąta i
jeden z jego boków.



Szkic: calosci nie chcialomi sie wklepywac. pozatym plain tekst to profonacja, a
texa, ani tym bardziej Mathematici odpalac mnie sie nie chce :)

z wzoru na pole p=1/2.a.h_1=1/2.b.h_2=1/2.c.h_1 obliczamy stosunek
a:b:c = 6:4:3. przyjmijmy wiec : a = 6x; b = 4x; c = 3x;
korzystajac ze wzoru cosinusow jestesmy w stanie wyliczyc juz
cosinusy odpowiednich kontow, gdyz x^2 zawsze != 0 i mozemy rownania podzielic
stronami. liczac pole ze wzoru P = pr i podstawaiajc za a, b, c mamy i P = 65x.
mozemy teraz zapisac wzor sinusow: a/sin(alfa)=b/sin(eta)=c/sin(gamma)=2R. Ze
wzoru abc/4R = P -2R = abc/2P = 72x^3/130x = 72x^2/130. Mozemy teraz zapisac
rownianie 6x/sin(alfa)=72x^2/130 <=6/sin(alfa)=72x/130. sin(alfa) znajac cos
(alfa) liczymy z jedynki trygonometrycznej (przy uwzglednieniu tego, ze alfa jest
katem trojkata). ostatczenie liczymy dowolny z bokow, na przyklad a=6x. mamy wiec
okreslone katy przez ich cosinusy, oraz bok a.

Cytat:Algebra:
1) Dany jest trójkąt opisany na okregu o promieniu r. l,m,n są odcinkami
wierzcholków trójkąta od środka okregu. l=1, m=1/2, n=1/3
Oblicz r



Z tym mam problem. Moze ty juz cos wymysliles?

        pozdr. Marcin Daczkowski

Kolo w szescianie

Ladne, eleganckie rozwiazanie i troche inne od mojego (choc nie moge
powiedziec, ze bardziej zwiezle), ktore pokrotce przedstawie.

Problem mozna podzielic na dwa przypadki:
1. c^2=a^2+b^2
2. c^2<a^2+b^2

Przypadek 1. jest banalny. Wystarczy zauwazyc, ze rzutem kola o srednicy d
zawartego w pudle na jego sciane o bokach a i b jest odcinek o dlugosci d
lub elipsa, w ktorej jedna z polosi ma dl. d, a poniewaz rzut ten jest
zawarty w tej scianie wiec d<=sqrt(a^2+b^2).
(łatwo znalezc rzut w ktorym zachodzi rownosc)

Przypadek 2. korzystajac z faktu, ze pudelko (oznaczmy je przez p) jest fig.
srodkowosymetryczna (o srodku O) latwo pokazac, ze poszukiwane kolo
(oznaczmy je przez k, a jego srednice przez d) mozna umiescic w pewnej
plaszczyznie (oznaczmy ja przez c) przechodzacej przez O. Przekroj p i c
jest rownoleglobokiem lub szesciokatem srodkowosymetrycznym o srodku O, a
kolo k jest zawarte w tym przekroju. Łatwo pokazac (korzystajac ze wzoru na
pole trojkata i nierownosci x^2+y^2=2xy), ze jezeli obie przekatne
rownolegloboku sa nie dluzsze niz sqrt(a^2+b^2+c^2), to srednica d kola
zawartego w tym rownolegloboku jest nie wieksza od sqrt((a^2+b62+c^2)/2).
Nieco trudniej ten wynik osiagnac dla szesciokata (tutaj posluzylem sie
geomeria analityczna) i znalazlem rownanie optymalnej plaszczyzny
(zawierajacej maksymalne kolo).

Adam

POMÓŻCIE STAREJ BABIE PLEASE.

Błagam o pomoc na cito.Starość nie radość - lecytyny brak.
Mam długości 3 boków trójkąta i nic więcej - muszę obliczyć pole powierzchni
trójkąta(nie ma kąta 90 stopni).Jest taki pyszny wzór z którgo kiedyś
korzystalam i nie mogę go sobie przypomnieć.Tylko błagam bez trygonometrii.
  Szczytem szcześcia byłoby otrzymanie również wzoru na wielokąt nieforemny w
oparciu tylko o długości boków - bez przekątnych i kątów i sinusów - jest
takowy.Pomożecie? Sorry ,że wpadam tu z takimi śmiesznościami (jak dla Was
niewątpliwie) ale o życie mi chodzi - Pozdrawiam i czekam na pomoc.
                         Jolcik

POMÓŻCIE STAREJ BABIE PLEASE.

Witam,
Cytat:
Mam długości 3 boków trójkąta i nic więcej - muszę obliczyć pole powierzchni
trójkąta(nie ma kąta 90 stopni).Jest taki pyszny wzór



Wzor Herona:
http://ux1.math.us.edu.pl/~szyjewski/FAQ/geometria/heron.htm

Cytat:  Szczytem szcześcia byłoby otrzymanie również wzoru na wielokąt nieforemny w
oparciu tylko o długości boków - bez przekątnych i kątów i sinusów - jest
takowy.



Nie ma takiego. Mozesz sie o tym przekonac osobiscie: wez cztery zapalki i uloz
z nich kwadrat. A potm uloz z nich bardzo chudy romb. Dostaniesz takie samo
pole?

Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski

Zadanko geometryczne

Cytat:Witam ponownie. Oto i kolejne zadanko, ktorym obarczyla mnie przyjaciolka.
Coz, moja humanistyczna glowka zupelnie go nie pojmuje... Pomozecie?
Rozwiazanie prosze tutaj, badz na priva. Potrzebuje go na srode.
Dany jest trójkat ABC, którego wierzcholki maja wspólrzedne A=(2;2),
B=(-2;1). Wierzcholek C nalezy do prostej y=x-6.



No to: Rysuneczek najpierw trzeba zrobić, prawda?
Potem wziąć wierzchołek (x,y), przy czym wiesz
jak zależy y od x (prawda :))?

Cytat:f) wyznacz wspólrzedne trzeciego wierzcholka tego trójkata, tak by pole
tego
trójkata bylo najwieksze,



No i pole można liczyć np. ze wzoru wyznacznikowego,
co najprościej, ale pewnie takich rzeczy jak macierze
i wyznaczniki to w humanie nie ma... Ale może przyjaciółka miała...
Zbadać przebieg funkcji i gotowe... :))

Cytat:g) wyznacz wspólrzedne srodka ciezkosci trójkata o najwiekszym polu.



A na to też wzorek jest specjalny...
Zresztą dość oczywisty.

ŁK

Zadanko geometryczne

Cytat:No to: Rysuneczek najpierw trzeba zrobić, prawda?
Potem wziąć wierzchołek (x,y), przy czym wiesz
jak zależy y od x (prawda :))?



ja? lol :ja wiem, ktora os to X, ktora to Y i na tym koniec...

Cytat:No i pole można liczyć np. ze wzoru wyznacznikowego,
co najprościej, ale pewnie takich rzeczy jak macierze
i wyznaczniki to w humanie nie ma...
Ale może przyjaciółka miała...



:akurat ja macierze mialem :ale ona nie...

Cytat:Zbadać przebieg funkcji i gotowe... :))




ktorego wyrecytowanie [ew. przepisanie na tablice] dostanie jakastam dobra
ocenke ;)

Cytat:| g) wyznacz wspólrzedne srodka ciezkosci trójkata o najwiekszym polu.
A na to też wzorek jest specjalny...
Zresztą dość oczywisty.



No w to nie watpie ;Ale moje "oczywiste wzorki" koncza sie na twierdzeniu
pitagorasa :

jak rysować wykresy?

Rownolegloboku? - mozliwe.
Wiem na pewno ze polowa tego wyznacznika to pole trojkata. Tak to chyba to
samo.
Chodzi o dowod tego wzoru.
Tej definicji wyznacznika.

Raptek
Pozdrawiam

Cytat:----- Original Message -----

Sent: Thursday, November 23, 2000 5:22 PM
Subject: Re: Wyznacznik pary wektorow.

| Czy moglby mi ktos podac dowod na wyznacznik pary wektorow?????
A nie jest to przypadkiem DEFINICJA wyznacznika ?
To, co podales, okresla pole rownolegloboku wyznaczonego
przez 'v' i 'u'. Chodzi Ci o dowod na CO ?
Kasy nie chce.
Antek



--
Archiwum grupy dyskusyjnej pl.sci.matematyka
http://niusy.onet.pl/pl.sci.matematyka

jak rysować wykresy?


Cytat:Rownolegloboku? - mozliwe.
Wiem na pewno ze polowa tego wyznacznika to pole trojkata. Tak to chyba to
samo.
Chodzi o dowod tego wzoru.
Tej definicji wyznacznika.

Raptek
Pozdrawiam



DEFINICJI SIE NIE DOWODZI!

Jesli sprawdzono poprawnosc definicji, to jej wypowiedz pelni role
aksjomatu.

W przypadku definicji rownosciowej pojecia "wyznacznik pary wektorow"
sprawdzeniu podlega to, czy podany wzor okresla dla dowolnej pary
wektorow wartosc "wyznacznika pary wektorow" jednoznacznie. Jesli para
jest uporzadkowana, to kresla - podaje wzor. Jesli przyjeto taka
definicje, to wystepujaca w niej rownosc "wyznacznik pary
(uporzadkowanej) wektorow [a,b], [c,d]" = ad-bc jest od tej pory
aksjomatem.

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!

rownoleglobok

Cytat:

Pole obliczysz z ukladu rownan - przez sume pol dwoch trojkatow raz od
jednej, pozniej od drugiej przekatnej. Pola trojkatow obliczysz majac  
dane
wszystkie boki ze wzoru Herona.



Jest dokładnie tak jak mówisz; oznaczy boki równoległoboku jako a i b,  
przekądne jako d1 i d2

a + b = obw / 2  --(1)

P1 = P2
ze wzoru Herona:
sqrt( p1(p1-a)(p1-b)(p1-d1) ) = sqrt( p2(p2-a)(p2-b)(p2-d2) )  --(2)
    p1 = 1/2 (a+b+d1)  --(3)
    p2 = 1/2 (a+b+d2)  --(4)

Posstaw sobie (3),(4) do (2) i wylicz wszystko z układu równań (1) i (2)

Nie doszlo (wysylalem wczesniej)


Cytat:

| a+b+c+d=2p ; S=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]

co innego niz myslales).



???
Było dobrze, a+b+c+d=2p.

Cytat:Caly czas tylko zastanawiam sie, czy nie dalo sie tego inaczej (w sumie to
po prostu nie znalem tego wzoru i nie ma go chyba w programie mat.-fiz., a
zadanie nie bylo na szostke...). Ale mniejsza z tym. Teraz juz bede pamietal
ten wzor. Moze sie przydac.
Ciekaw jestem jeszcze tylko dowodu. Dochodzi warunek, ze jest spelniony
tylko dla wielokata wpisanego w okrag. Jak go wykorzystac do dowodu (tego
wzoru oczywiscie)?



Dzielisz czworokąt przekątną na dwa trójkąty.
Pole czworokąta to suma pól tych trójkątów, które liczysz ze wzorów
1/2*ab sin A oraz 1/2*cd sin C, gdzie A to miara kąta między bokami
o długościach a i b, C to miara kąta między bokami
o długościach c i d. Z założenia o wpisaniu w okrąg A+C=180 stopni
i sin A = sin C.
Aby te sinusy wyliczyć korzystamy z tego,
że a^2+b^2-2ab cos A = c^2+d^2-2cd cos C,
cos A = -cos C.
Teraz zostaje wykonać pół strony rachunków i gotowe.

Geometria - 2 zadanka


Cytat:Boże, i to ma być prosty sposób ?.



nie jestem bogiem

Cytat:   Poza tym, jak podać rozwiązanie to wypada podać porządnie. (...)



http://frodo1984.fm.interia.pl/rysunek.gif
- oznaczenia z rysunku

Dane:
kat AOB ma miare 60 stopni
|AC|=a
|BC|=b
|OC| - nasza szukana w zadaniu

Rozwiazanie:
kat CDB ma miare 30 stopni (180-60-90 w trojkacie OAD)
|CD|=x

w tr. BCD z tw. def. sin 30 stopni:
sin30st. = b/x
x=2b

w tr. OAD z def. tg 60 stopni:
tg60st.=(a+2b)/|OA|
|OA|=(a+2b)/sqrt(3)

z tw. Pit. w tr. OAC:
a^2+|OA|^2=|OC|^2
4/3(a^2+ab+b^2)=|OC|^2

|OC|=2*sqrt(3)/3*sqrt(a^2+ab+b^2)

skomplikowany sposob? sadze, ze obliczeniowo o wiele latwiejszy niz podany
przez Ciebie, zreszta np. majac podane pole i 2 boki trojkata mozna ten
trzeci obliczac ze wzoru Herona. Tylko po co sie tak meczyc, skoro sa
latwiejsze sposoby. Ten tutaj podany to wlasnie taki latwiejszy sposob...

Pozdrawiam!

Geometria - 2 zadanka

Cytat:

| Boże, i to ma być prosty sposób ?.
nie jestem bogiem

|    Poza tym, jak podać rozwiązanie to wypada podać porządnie. (...)

http://frodo1984.fm.interia.pl/rysunek.gif
- oznaczenia z rysunku

Dane:
kat AOB ma miare 60 stopni
|AC|=a
|BC|=b
|OC| - nasza szukana w zadaniu

Rozwiazanie:
kat CDB ma miare 30 stopni (180-60-90 w trojkacie OAD)
|CD|=x

w tr. BCD z tw. def. sin 30 stopni:
sin30st. = b/x
x=2b

w tr. OAD z def. tg 60 stopni:
tg60st.=(a+2b)/|OA|
|OA|=(a+2b)/sqrt(3)

z tw. Pit. w tr. OAC:
a^2+|OA|^2=|OC|^2
4/3(a^2+ab+b^2)=|OC|^2

|OC|=2*sqrt(3)/3*sqrt(a^2+ab+b^2)

skomplikowany sposob? sadze, ze obliczeniowo o wiele latwiejszy niz podany
przez Ciebie, zreszta np. majac podane pole i 2 boki trojkata mozna ten
trzeci obliczac ze wzoru Herona. Tylko po co sie tak meczyc, skoro sa
latwiejsze sposoby. Ten tutaj podany to wlasnie taki latwiejszy sposob...

Pozdrawiam!

--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -http://www.gazeta.pl/usenet/



Skoro znajdujesz od nas zawsze prostsze rozwiazanie mistrzu to po co nas
takimi zadankami z podstawowki w ogole fatygujes.Spytaj sie swej kolezanki i
nie  zabieraj nam cennego czasu.Tocbac niech sobie odpusci.

Czy ktoś to potrafi rozwiązać ???

Cytat:
| http://www.republika.pl/canon_i850
wszystko jest w treści zadania, mniejszy trójkąt ma 3 razy mniejsze pole od
większego... a dalej podstawiają....

| http://republika.pl/canon_i850
zobacz sobie jak wygląda S_n(x) i S_(n+1)(x) i zobaczysz że sie różni tylko
i wyłacznie tym wyrazem...

pozdr.



Co do pierwszego: ale dlaczego pole trójkąta ABC jest liczone z dwóch
boków - mnożą |AB|x|BC|, a przeciez nie ma takiego wzoru na pole.

Co do drugiego: dlaczego różnią się wyrazem ze znaczkiem "n+1" a nie
"n". Przecież różnica q=pierwiastek z ośmiu x^n ,a nie, x^n+1
Chyba coś źle rozumuję.

Czy ktoś to potrafi rozwiązać ???

Cytat:Co do pierwszego: ale dlaczego pole trójkąta ABC jest liczone z dwóch
boków - mnożą |AB|x|BC|, a przeciez nie ma takiego wzoru na pole.



Kolego a taki wzor na pole:

P=1/2 * a * b * sin alpha

gdzie alpha to kat miedzy bokami a i b, znasz? :)
Zauwaz, ze skoro katy w tych trojkatach sa jednakowe to sinusy sie
skroca tak samo jak i 1/2... Swoja droga to troche dziwne ze skrocili
1/2 i sinusy a dlugosci odcinkow zostawili, no ale coz... ;)

Pozdrawiam,
Karol Piotrowski

ostroslup...

jesteś pewien, że w trójkącie równoramiennym wysokości przecinają się w
stosunku 1:2? tylko w równobocznym; w pozostałych to środkowe, a więc nie
można wziąć 1/2 wysokości podstawy do obliczenia wysokości ostrosłupa (a
może się mylę). Można za to obliczyć promień okregu opisanego na podstawie
(spodek wysokości) z wzrou na pole trójkata z opisanym okręgiem (wcześniej
pole z wzoru Herona); Ostatecznie mi wyszło sqrt(11)/2

---------------
Elmo

Cytat:


ZADANIE

wzory:
P(k)=pole kuli=4(pi)r^2
Pb(s)=pole boczne stożka=(pi)rl
V(k)=4/3 (pi)R^3
V9s)=1/3 (pi)r^2H
r- promień podstawy stożka
R-promieńkuli
H-wys. stożka
Pp (s)=pole postawy stożka=(pi)r^2

na rysunku moje oznaczenia:
przekrój stożka to ABC, gdzie AB to podstawa, która punkt D dzieli na pół i
to pkt styczności z kulą
pkt O to środek kuli

z zadania mamy że
Pb(s)=3Pp(s)
więc (pi)rl=3(pi)r^2
stąd l=3r
z trójkąta DBC obliczamy H stożka z Tw pitagorasa i mamy          sqrt(2) to
pierwiastek z 2
H^2=9r^2-r^2
H=2 r sqrt(2)
trójkąt DBC jest dzielony przez pkt O na dwa trójkąty, obliczam pole DBC i
pola DBO i BCO i je dodaje
więc ...
(*)     P(DBC)1=1/2 r H= 1/2 r 2 r sqrt(2) = r^2 sqrt(2)
(**)   P(DBC)2=P(DBO)  + P(BCO)
         P(DBC)2=1/2 r R + 1/2 3r R=3/2 rR
porównuję oba pola i otrzymuję , że           r=R sqrt(2)

mam wykazać że V(s)=2V(k)
V(s)=1/3 (pi) r^2 H=1/3 (pi) (R sqrt(2) )^2 2 r sqrt(2)= 1/3 (pi) R^3 razy8=
8/3 (pi) R^3= 2 V(k)
gotowe

Trojkaty o dlugosciach bokow i polu powierzchni calkowitym

Dzien dobry,

Jesli trojkat ma wierzcholki w punktach kratowych (tzn. w punktach o obu
wspolrzednych calkowitych) plaszczyzny, to oczywiscie jego pole
powierzchni jest wielokrotnoscia 1/2. Jesli dodatkowo zalozymy, ze ma
boki o dlugosciach calkowitych, to wzor Herona powie nam, ze jego pole
powierzchni rowniez jest liczba calkowita.

Zalozmy teraz, ze mamy dany trojkat, ktorego boki maja dlugosci
calkowite i ktorego pole powierzchni jest liczba calkowita. Czy wowczas
ten trojkat jest przystajacy do pewnego trojkata o wierzcholkach w
punktach kratowych?

Wszystko podpowiada, ze tak jest w istocie, lecz nie umiem tego
udowodnic. Proponuje konkurs z symboliczna nagroda: osobe, ktora poda i
uzasadni odpowiedz na postawione wyzej pytanie, gotow jestem zaprosic na
ciasto i herbate.

Trojkaty o dlugosciach bokow i polu powierzchni calkowitym

Cytat:Jesli trojkat ma wierzcholki w punktach kratowych (tzn. w punktach o obu
wspolrzednych calkowitych) plaszczyzny, to oczywiscie jego pole
powierzchni jest wielokrotnoscia 1/2. Jesli dodatkowo zalozymy, ze ma
boki o dlugosciach calkowitych, to wzor Herona powie nam, ze jego pole
powierzchni rowniez jest liczba calkowita.

Zalozmy teraz, ze mamy dany trojkat, ktorego boki maja dlugosci
calkowite i ktorego pole powierzchni jest liczba calkowita. Czy wowczas
ten trojkat jest przystajacy do pewnego trojkata o wierzcholkach w
punktach kratowych?



Mój kandydat na kontrprzyklad do trójkat o bokach 13, 14 i 15
pole wówczas wynosi 84
a o ile sie nie myle, to jedyny sposób uzykania odleglosci 14 i 15 miedzy
punktami kratowymi to wybranie punktów o wspólnej jednej wspólrzednej

Jurek

Odcinek kołowy zależność kąta od wysokości

Dzięki za podpowiedź, pomimo niejasnego opisu zrozumiałeś problem.
Praktycznie wygląda to tak. Obliczam zawartość zbiornika (walec r=1,1) w
zależności  od poziomu lustra wody np. 1,9m od dna zbiornika.
W międzyczasie znalazłem kąt korzystając z twierdzenia Pitagorasa i
cosinusów. Wzorem finalnym był wzór znaleziony w kalendarzu
P=pi*r^2*cos/360stopni-1/2*a(r-h) wynik 0,3076 m2. Mam nadzieję że jest to
rozumowanie słuszne(Ostatni kontakt z matematyką 10 lat temu).

Niestety powstał dla mnie nowy problem. Okazało się że podstawą walca
(leżącego) jest odcinek kuli. Potrzebuję więc po lamersku "wzór na odcinek
odcinka kuli "w zależności od poziomu lustra wody h walec.

Pozdrawiam

Cytat:Byłoby łatwiej, gdyby było wiadomo którego kąta
szukasz, oraz czym jest "wysokość" h.
Zakładając, że h oznacza strzałkę łuku, zaś x _połowę_
kąta obejmującego odcinek (tzn. dla półkola x=pi/2)
masz  h = r(1 - sin x), zatem  x = asin(1 - h/r).
Pole odcinka jest różnicą pól odpowiedniego wycinka
kołowego i trójkąta równoramiennego rozpiętego
na cięciwie i środku koła:
    S = 1/2 * r^2 * 2x - 1/2 * r sin x * 2 r cos x
        = r^2 (x - 1/2 sin 2x)

Maciek
04.05 12.10



Dla zdolnych

Cytat:Który z trojkatów o danym obwodzie p ma największe pole?
Zadanie rozwiązać bez użycia pochodnej funkcji!!



Teraz już na serio...
Korzystając ze wzoru Herona widać,
że jest on niejako symetryczny, tzn nie
jest rozróżnialna w nim kolejność boków.
Iloczyn trzech czynników (o danej sumie)
jest największy, gdy wszystkie są równe.
Moja odpowiedź więc brzmi: trójkąt równoboczny
o boku Ob/3.

Pole wielokąta na podstawie długości boków

Prawie każdy zna wzór Herona na pole trójkąta abc:
 S=sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)] gdzie p=(a+b+c)/2
Który jest uogólnieniem wzoru Brahmagupty na pole czworokąta wpisanego w okrąg:
 S=sqrt[(p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)] gdzie p=(a+b+c)/2
który sam jest uogólnieniem wzoru na pole dowolnego czworokąta:
 S=sqrt[(p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)]-abcd*cos{[(alpha)+(beta)]/2} gdzie p=(a+b+c)/2

I teraz moje pytanie:
Czy są jakieś wzory umożliwiajace obliczenie pola wielokąta o większej liczbie
boków znając ich długości??
A może jest jakis wzór ogólny dla n-kąta??

Z góry dziękuje za odpowiedź i przepraszam za ewętualne błedy które mogły
wkraść się do moich wzorów

Pole wielokąta na podstawie długości boków

Jeśli wielokąt jest wpisany w okrąg to wystarczy podzielić go na trójkąty
równoramienne, których podstawami są boki wielokąta, a ramiona trójkątów
promieniami okręgu.
Pole wielokąta będzie sumą pól trójkątów, które liczymy ze wzoru Herona o
ile oczywiście znamy długość promienia okręgu.
Cytat:

| I teraz moje pytanie:
| Czy są jakieś wzory umożliwiajace obliczenie pola wielokąta o większej
liczbi
| e
| boków znając ich długości??
| A może jest jakis wzór ogólny dla n-kąta??

| Oczywiście nie, bo długości boków nie wyznaczają
| jednoznacznie wielokąta. Wymyśl szybko dwa czworokąty o
| równych bokach, ale różnych polach.

No to wiem ale jeśli założymy że wielokąt jest wpisany w okrąg to juz mamy
tylko 1 możliwość.
Pozatym zawsze można dodać jakieś dodatkowe dane np. miary niektórych
kątów
jak w ostatnim przezemnie podanym wzorze.

--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -



http://www.gazeta.pl/usenet/

czy istnieje taki wzor?

witam

Zalozmy ze mamy uklad wspolrzednych i na nim wyznaczona figure plaska np.
trojkat. (lub inna figura)

Czy istnieje jakies rownanie ktore pozwoli wyznaczyc czy dany, losowo wybrany
punkt znajduje sie w obrebie pola tego trojkata czy tez lezy poza nim?

pozdrawiam
hh

zadanie maturalne z matematyki(2001r)

Cytat:Jak rozwiązać to zadanie???
odcinek AB, gdzie A = (1,-3), B = (5,-1), jest podstawą trójkąta
równoramiennego ABC. Wyznacz współrzędne wierzchołka C trójkąta ABC wiedząc,
że pole tego trójkąta jest równe 15.



1. stwierdz, jakie jest rownanie symetralnej tego odcinka ( wykorzystaj to, co
wiesz o trojkacie rownoramiennym )
2. oblicz jego dlugosc.
3. wykorzystaj wzor na pole tego trojkata, przyjmujac, ze niewiadomy pkt ma
wspolrzedne np. (p,q)

Dobry rysunek ( w tym przypadku!!! ) moze pomoc
Pozdrawiam

Pole obszaru zamknietego.

Witam!

Normalnie az wstyd mi zadawac takie pytanie... :)

Zalozmy, ze mam danych kilka wspolrzednych punktow-wierzcholkow figury
na plaszczyznie i chcialbym obliczyc pole powierzchni tej figury - jak?
Zakladam (dla uproszczenia) ze figura ma 4-6 wierzcholkow. Pewnie
trzeba to zrobic przez rozklad na trojkaty... tylko jak? a moze jest
inny sposob? Czy dalo by sie zapisac "uniwersalny" wzor na pole takiego
obszaru przy danych wsp.? czyli cos w stylu P=x1*y2..... ?

Pozdrawiam!

Pole obszaru zamknietego.

wyznacz wzory jrpstych przechodzacych przez punkty, a potem...
... caleczki :)
Cytat:
Witam!

Normalnie az wstyd mi zadawac takie pytanie... :)

Zalozmy, ze mam danych kilka wspolrzednych punktow-wierzcholkow figury
na plaszczyznie i chcialbym obliczyc pole powierzchni tej figury - jak?
Zakladam (dla uproszczenia) ze figura ma 4-6 wierzcholkow. Pewnie
trzeba to zrobic przez rozklad na trojkaty... tylko jak? a moze jest
inny sposob? Czy dalo by sie zapisac "uniwersalny" wzor na pole takiego
obszaru przy danych wsp.? czyli cos w stylu P=x1*y2..... ?

Pozdrawiam!



--
*******************************
pozdrawiam

Marek "aniek" Andrzejewicz

ciekawy wzór

Cytat:
Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach A, B, C

To chyba nie jest popularny wzór, bo mamy polecenie "trzeba wymyśleć
wzór " :)
Ja wymiękam może wy sobie z tym poradzicie.



Chyba jednak bardzo popularny:

r=2*S/(a+b+c)

Pole S ze wzoru Herona

http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/starozyt/heron.htm

ciekawy wzór

Cytat:Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach A, B, C

To chyba nie jest popularny wzór, bo mamy polecenie "trzeba wymyśleć wzór
"
:)
Ja wymiękam może wy sobie z tym poradzicie.



Ja znam tylko taki:

r = (2*P) / (A+B+C), gdzie P to pole trójkąta ABC

A pole trójkąta to zawsze można wyliczyć ze wzoru Herona.

ciekawy wzór

Cytat:Chyba jednak bardzo popularny:

r=2*S/(a+b+c)

Pole S ze wzoru Herona



Ale jak do tego dojść? Chodzi mi jak to uzyskać przekształceniem wzorów albo
w inny sposób, a nie gotowy już wzór. Jak się liczy pole trójkąta wzorem
Herona? Wiem, że dla Was to chyba nie jest trudne, ale proszę o pomoc.
Z góry dzięki

Zadania z CEWM'u

Witam

Naprawde nie mam zadnego dobrego pomyslu
jak rowiazywac tego typu zadania.
Dodatkowym utrudnieniem jest fakt ze na 1 zadanie wychodzi
ok. 3,5 min., co jest chyba stanowczo za malo.

1. Punkty A, B, C nie leza na jednej prostej, a wektory AB + 2AC
i AB - 2AC sa prostopadle. Wynika z tego ze:
a) wektory AB i AC sa prostopadle
b) |AB|=2|AC|
c) wektory AC + 0,5AB i AC - 0,5AB sa prostopadle

2. Dlugosci p, q, r bokow trojkata prostokatnego sa liczbami calkowitymi
dodatnimi, przy czym p+q =2r. Wynika z tego, ze:
a) 2|p-q| <=r
b) r=4
c) p+q+r = 12

3. W szesciakat "W" o obwodzie "a" mozna wpisac okrag o promieniu r. Wynika z
tego, ze:
a) suma dlugosci pewnych trzech bokow W jest rowna 0,5a
b) suma miar pewnych trzech katow W jest rowna 180
c) pole W jest nie wieksze od (a^2 + r^2)/4

4. W trojkacie ABC punkt D jest srodkiem boku BC, punkt E jest dowolnie
obranym punktem odcinka DB. Prosta przechodzaca przez E i dzielaca trojkat
ABC na czesci o rownych polach przecina bok AC w punkcie F. Wynika z tego, ze:
a) ABallelEF
b)AEallelDF
c)ABallelDF
(zreszta w tym zadaniu to mam problem z nazewnictwem, "allel" nigdy
sie z tym nie spotkalem)

5. Funkcje f i g okreslone wzorami f(x) = x^3 + a2x^2 + a1x + a0
i g(x) = -2x^3 + b2x^2 + b1x + b0 maja trzy rozne wspolne miejsca zerowe.
Wynika z tego, ze:
a) rownanie f(x) = x*g(x) ma dokladnie 4 rozne pierwiastki
b) 2f(x) + g(2) = 0
c) funkcja h dana wzorem h(x) = | f(x)g(x) | jest funkcja wielomianawa

Dziekuje za wszelkie pomoce i info.

Pozdrawiam
Tomek

punkt w trojkacie

Po prostu policz pole trojkata. Potem policz pola trzech trojkatow
powstalych z polaczenia badanego punktu z dwoma dowolnymi wierzcholkami
trojkata. Zsumuj te trzy pola. Jezeli suma jest rowna polu trojkata to punkt
lezy wewnatrz niego. Do obliczenia pol trojkatow zastosuj wzor (chyba
Talesa - nie pamietam) S=SqRt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)), gdzie: a,b,c - dlugosci
bokow trojkatow, p - polowa obwodu.

pozdro
Robert

Cytat:

| Rozwazmy problem bardziej ogólnie.
| Jak sprawdzic, czy dowolny punkt lezy wewnatrz dowolnej figury
geometrycznej
| F (zamknietej) na plaszczyznie ?.
| Rozwiazanie jest bardzo proste.
| Bierzemy dowolny punkt P na plaszczyznie. Nastepnie prowadzimy dowolna
| prosta L przecinajaca figure F (nie przechodzaca przez wierzcholki
figury
| F). Jezeli prosta L przecina figure F parzysta liczbe razy to punkt lezy
na
| zewnatrz figury F w przypadku przeciwnym wewnatrz.

Weźmy trójkąt równoboczny F, środek tego trójkąta P i prostą L równoległą
do
jednego z boków. Mam kłopoty z wyobraźnią (ostatnio niczego nie jestem
pewien - (a-b)^3 źle policzyłem :-), czy też prosta L przetnie F w 2
miejscach ?

Pozdrawiam.
Piotr.



punkt w trojkacie

Dzieki, to by bylo to.
Tylko ze pola te i tak chyba nie beda rowne - trzeba bedzie dopuscic
jakis blad, ale metoda wydaje sie ok.

Cytat:
Po prostu policz pole trojkata. Potem policz pola trzech trojkatow
powstalych z polaczenia badanego punktu z dwoma dowolnymi wierzcholkami
trojkata. Zsumuj te trzy pola. Jezeli suma jest rowna polu trojkata to punkt
lezy wewnatrz niego. Do obliczenia pol trojkatow zastosuj wzor (chyba
Talesa - nie pamietam) S=SqRt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)), gdzie: a,b,c - dlugosci
bokow trojkatow, p - polowa obwodu.



zadanie - prosze o pomoc

Cytat:Mam porblem z zadaniem
Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt prostokątny. Jedna z jego
przyprostokątnych ma długość 5. Oblicz pole tego trójkąta.

Czy mogę prosić o jakąś wskazówkę.



1) Narysuj na kartce trójkąt prostokątny i wpisz w niego trójkąt ;)
2) Narysuj wszystkie promienie które jednocześnie prostopadłe do podstaw
3) Zauważ, że odpowiednie odcinki na jednym boku (wyznaczone przez
prostopadle do tych boków poprowadzone promienie) odpowiadają odcinkom na
drugich bokach. [innymy słowy utworzą Ci sie 3 deltoidy gdzie dwa boki będą
promieniami a pozostałe dwa odcinkami zawartymi w bokach trójkąta]
4) Korzystając z tw. Pitagorasa zapisz rownanie z niewiadomą x (gdzie x
będzie długością odcinków zawartych w bokach których nie znasz)
5) Wyznacz odcinki: 5, 12, 13
6) Oblicz pole

Coach

PS. Prościej nie potrafilem... ;)
PS2. Chociaz powinienem jeszcze zapisac ze obicz pole np. ze wzoru:
1/2*(przyprostokątna)*(druga przyprostokątna) ;););)

Dowód jednego wzoru na pole trójkąta

Cytat:Hej

Czy ktoś mógłby mi podać dowód któregoś ze wzorów na pole
trójkąta?

Z góry dzięki



hmmm,
wzorow jest wiele....
idac od najprostszego: P=a*h/2 , wystarczy, ze narysujesz
czworokat, o bokach a oraz h, z podobienstwa latwo widac, ze pole
trojkata to polowa pola czowokata
P=p*r, ten wzor tez jest prosty do udowodnienia. Narysuj trojkat,
wpisz w niego okrag. Widac, ze pole trojkata to suma trzech
trojkatow, ktorych wysokosciami sa r. jak wszystko pododajesz,
ladnie wyjdzie

reszte znajdziesz w necie... pozdrawiam

Dowód jednego wzoru na pole trójkąta

Cytat:hmmm,
wzorow jest wiele....
idac od najprostszego: P=a*h/2 , wystarczy, ze narysujesz
czworokat, o bokach a oraz h, z podobienstwa latwo widac, ze pole
trojkata to polowa pola czowokata



 Mówiąc czworokąt masz na myśli prostokąt?

Cytat:P=p*r,



 Hm, co to za wzór?!

A jak udowodnić np. P=1/2ab*sin kąta między a i b ?

Dowód jednego wzoru na pole trójkąta

Cytat: | hmmm,
| wzorow jest wiele....
| idac od najprostszego: P=a*h/2 , wystarczy, ze narysujesz
| czworokat, o bokach a oraz h, z podobienstwa latwo widac, ze
pole
| trojkata to polowa pola czowokata

 Mówiąc czworokąt masz na myśli prostokąt?

| P=p*r,

 Hm, co to za wzór?!

A jak udowodnić np. P=1/2ab*sin kąta między a i b ?



P=p*r wzor na pole, gdzie p to jest polowa obwodu, a r to promien
okregu wpisanego w okrag.
Wzor P=1/2 absinL jest tez prosty, wiesz, ze P=1/2 a*h. a sinL=h/b
, zatem h=b* sinL . wstawiajac h do wzoru wychodzi.

Dowód jednego wzoru na pole trójkąta

Cytat: | Hej

| Czy ktoś mógłby mi podać dowód któregoś ze wzorów na pole trójkąta?

Oryginalny dowod wzoru P = 1/2 * a * h (1) dla trojkata ostrokatnego,
gdzie przez a oznaczamy dlugosc podstawy a przez h wysokosc trojkata.

Rozwazmy trojkat ograniczony wykresami funkcji f(x) = ax + h
i g(x) = mx + h, gdzie h oczywiscie jest wysokoscia trojkata.
Niech wysokosc ta dzieli podstawe trojkata na dwie czesci

Wowczas mamy trojkat o wierzcholkach A = (-a1,  0), B = (a2, 0), C = (0, h).



(ciach...)

Cytat:Zauwazmy, ze pole rozwazanego trojkata jest suma pol:
 Â a) pod wykresem funkcji f(x) ograniczonej osia OX
 Â     oraz prostymi x=-a1 i x = 0
 Â b) pod wykresem funkcji g(x) ograniczonej osia OX
 Â    oraz prostymi x=a2 i x = 0
Dodatkowo, pole a) jest rowne polu pod wykresem funkcji f1(x) = bx + h,
gdzie b = -a i takie bedziemy rozwazac.

W konsekwencji pole rozwazanego trojkata bedzie sie wyrazac wzorem:

P = (${0, a1} f1(x)dx) + (${0, a2} g(x)dx),



(ciach...)

O Boze, calki do liczenia pola trojkata. Najlatwiej (i elementarnie) jest
po prostu narysowac prosta prostopadla do wysokosci przecinajaca ja
w polowie (ta prosta i wysokosc dziela trojkat na cztery czesci, z ktorych
mozemy zlozyc prostokat o jednym boku rownym podstawie, a drugim polowie
wysokosci i juz). Oczywiscie przyjmujemy znajomosc pola prostokata.

Kasia Jachim

Dowód jednego wzoru na pole trójkąta


Cytat:O Boze, calki do liczenia pola trojkata. Najlatwiej (i elementarnie)
jest



No ale moze chodziło o nieelementarnie...
Jesli tak, to są ciekawsze sposoby
(wzór Greena np.).

Cytat:drugim polowie wysokosci i juz). Oczywiscie przyjmujemy znajomosc
pola prostokata.



A to jest znowu takie oczywiste :)?

Dowód jednego wzoru na pole trójkąta


wystukł:
Cytat:O Boze, calki do liczenia pola trojkata. Najlatwiej (i elementarnie) jest
po prostu narysowac prosta prostopadla do wysokosci przecinajaca ja
w polowie (ta prosta i wysokosc dziela trojkat na cztery czesci, z ktorych
mozemy zlozyc prostokat o jednym boku rownym podstawie, a drugim polowie
wysokosci i juz). Oczywiscie przyjmujemy znajomosc pola prostokata......



......które bardzo ładnie wychodzi przy pomocy całkowania :| No bo jakoś
ten wzór na pole prostokąta udowodnić wcześniej trzeba.

Zadanie z wilomianem i geo. anal. :)

Hej!

Mam prablem z takim ciekawym zadankiem, raczej banalny, ale glowie sie i mi
nie wychodzi:) Lece z pamieci z trescia:

Oblicz pole trojkata ograniczonego osiami wykresu oraz styczna do funkcji
W(x) = x^3 -3x^2 + 9x + 1 w punkcie o odcietej x = -1 ( wielomian wymyslilem
sam, bo tamtego nie pamietam, zreszta nie o to mi tutaj chodzi:).

No wiec lecimy:
1) rysuje wykres
2) chce skorzystac ze wzoru na styczna do wykresu w punkcie: y - y0 = f '(x)
( x - x0 )

Fajnie, mam dany ten punkt ( x0 = -1, y0 sobie wylicze podstawiajac do
wielomianu x = -1 ), licze pochodna W '(x) rowna w tym przypadku W '(x) =
3x^2 - 6x + 9.

Wstawiam to wyszstko do wzoru i co mi wychodzi? Wielomian:( Moze mi sie tak
tylko wydaje, ale styczna powinna chyba byc funkcja liniowa y = ax +b ?
Gdzie sie rąbłem?:)

Pozdrawiam

Nierówność geometryczna

Cytat:Ciekawa nierówność:

1/a^2+1/b^2+1/c^2<=1/4r^2

a,b,c - boki trójkąta, r - promień okręgu wpisanego.



Korzystamy z takiej własności, że w każdy trójkąt można wpisać okrąg. Wtedy,
oznaczając odpowiednio odpowiednie odcinki jako x, y, z mamy:

a=x+y;
b=y+z;
c-z+x;

Podstawiając za r:

r=P/p, (Pole P liczymy ze wzoru Herona)

i wtedy wstawiając liczby x, y, z zamiast a, b, c według powyższego wzoru
otrzymujemy nierówność:

1/(x+y)^2 + 1/(y+z)^2 + 1/(z+x)^2  <=  1/4xy + 1/4yz + 1/4zx

Ta nierówność wynika bezpośrednio z nierówności:

(x+y)^2=4xy, która jest równoważna oczywistej: (x-y)^2=0

I KONIEC. Pożyteczna metoda z tą zamianą... :)

Pozdrawiam,

Michał

Nierówność geometryczna

Cytat:| Ciekawa nierówność:

| 1/a^2+1/b^2+1/c^2<=1/4r^2

| a,b,c - boki trójkąta, r - promień okręgu wpisanego.

Korzystamy z takiej własności, że w każdy trójkąt można wpisać okrąg. Wtedy,
oznaczając odpowiednio odpowiednie odcinki jako x, y, z mamy:

a=x+y;
b=y+z;
c-z+x;

Podstawiając za r:

r=P/p, (Pole P liczymy ze wzoru Herona)

i wtedy wstawiając liczby x, y, z zamiast a, b, c według powyższego wzoru
otrzymujemy nierówność:

1/(x+y)^2 + 1/(y+z)^2 + 1/(z+x)^2  <=  1/4xy + 1/4yz + 1/4zx

Ta nierówność wynika bezpośrednio z nierówności:

(x+y)^2=4xy, która jest równoważna oczywistej: (x-y)^2=0

I KONIEC. Pożyteczna metoda z tą zamianą... :)

Pozdrawiam,

Michał

--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl



No to teraz ja ci dam zadanie:
wyznacz wszystkie liczby naturalne n i pierwsze p takie ze:
1.2p = n
2.n^(p-1)|((p-1)^n)+1

Powierzchnia okna :)

Cytat:
Witam wszystkich.
Zadanko jest niby banalne:
Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze trójkątem równobocznym.
Obwód okna wynosi p. Jaka powinna być podstawa prostokąta, aby
powierzchnia okna była największa?

Ale zupełnie nie wiem jak się do niego zabrać.



metoda w 3 krokach:
1.wyznacz szukana podstawe z obwodu
2.wstaw to, co wyznaczyles do wzoru na pole
3.wylicz miejsce zerowe pochodnej zaleznosci, ktora otrzymales w punkcie 2.
Szukana dlugosc to wlasnie wyliczone miejsce zerowe.

Trudne zadanie [trojkaty prostokatne]

Witam, jest zadanko, ktorego nie moge ruszyc.

"W zbiorze trojkatow prostokatny o obwodzie 20cm znajdz ten, ktego pole jest
najwieksze"

Latwo sie domyslic, ze bedzie to rownoramienny, ale jak tego dowiesc ?

Odpowiedz podaje wzor na pole uzalezniony od wybranej przyprostokatnej:

P(x) = 10* (x^2 - 10x) / (x - 20)

Skad to i jak to ? ;]

z gory dzieki za pomoc

dwa pytania związane z algorytmami 3D

Cytat:
A ktory konkretnie punkt testujesz, tzn. jak go opisujesz ?



mam 4 koła samochodziku, chcę dla każdego znaleźć wysokość nad poziomem
morza :-)
każde leży na pewnym trójkącie (teren składa się faców)
ale nie na wierzchołku, lecz wewnątrz, chcę więc szybko znaleźć wysokość
w tym miejscu trójkąta
coś jak szukanie koloru w trójkącie wypełnianym gouraudem, tylko tu interesuje
mnie _tylko_ten_jeden_punkt_ a więc przechodzenie po krawiędziach i dodawanie
delt jest mało zachęcające
szukam jednego wzoru, najlepiej, żeby wszystkie trudne wartości dało się trzymać
razem z facem

podsumowując, mam trójkąt ABC i punkt P leżący wewnątrz trójkąta
na każdym wierzchołku A, B i C mam daną pewną wartość, jak znaleźć tą
wartość w punkcie P?
(oczywiście wartość zmienia się liniowo, jak w gouraudzie, lub jak w kawałku
 deski leżącej na trzech podstawkach :-) )

Cytat:Hmmm. To wszystko zalezy od calosci engine'u. Czy wszystko traktujesz jako
face'y,
czy czesc jako face'y, czesc jako obiekty itd.



engine'u nie ma (jest sesja), ale zazwyczaj robię to tak:
wszystkie punkty w tablicy
każdy face ma wskaźnik do 3 puntków
obiekty, z każdym jest tablica (lista?) wskaźników na face

właściwie tu punkty raczej nie będą w tablicy, ale to nie ma znaczenia

Cytat:Generalnie, jest tak ze pole widzenia
ograniczone dwoma prostymi tworzy twoj kat beta*2. Iloczyn skalarny
liczony miedzy osia Z pola widzenia, a wektorem poprowadzonym od kamery, do dowolnego punktu,
liczy cosinus kata miedzy nimi. Jezeli jest wiekszy od cosinusa beta,
to punkt jest poza polem widzenia. Test mozesz robic na kazdym verex'ie,
lub na zbiorze
vertex'ow zgrupowanych w BOX'ie itd.



na każdym vertexie bez szans (chcę mieć duży teren), na obiekty terenu
nie podzielę, może na strefy? a może zbudować drzewo? masz jakiś pomysł?
załóżmy, że dochodzi jeszcze mgła, a więc widzę wszystko, co znajduje się
pod kątem (-beta,beta) przede mną i w odległości (0,zakres_widzenia),
razem tworzy to wycinek koła albo trójkąt... załóżmy, że wszystkie obiekty
(drzewa, budynki, etc...) przypiszę do faców (w nich umieszczę zapis,
żeby brać pod uwagę obiekty), jedyne co muszę znaleźć to listę faców,
które są wewnątrz tego trójkąta (lub wycinka), jak to zrobić najszybciej?
jeżeli będę miał 10tys, albo 100tys faców, to nie chcę przeglądać wszystkich...

dwa pytania związane z algorytmami 3D

Cytat:
albo policzyc delty x i y (stablicowac), a wtedy w 2 mulach z powinno
dac sie wyliczyc.
na cztery kola to bedzie tylko 8 mnozen, pare odczytow i dodawan, wiec
chyba nie
az tak duzo :)



ale jaki konkretnie będzie wzór? jeżeli węzły siatki są co step_x i step_z
to co mam zrobić dla konkretnego (x,z) ?

Cytat:przy wiecej niz 30tys faceow bez drzewka to mi sie nie widzi za bardzo,
a tym
bardziej, ze teren jest statyczny, takze drzewko mozna zrobic
eleganckie,
zoptymalizowane i dostosowane do potrzeb engine'u (+prekalkulacje
niektorych
elementow w drzewie)



ale mówisz o drzewie BSP? (niestety nie opanowałem tego temaciku...)
czy też jest jakiś prostszy sposób?

Cytat:chyba ze mapa terenu jest prostokatem o stalym zageszczeniu siatki,
wtedy
czesc terenu moza wywalic metoda dwoch prostych na plaszczyznie. albo
lepiej, zaczynajac od punktu, w ktorym jest gracz, wywalamy wszystkie
pola z tylu,
a te z przodu mozna wyeliminowac jakas metoda przyrostowa, jezeli FOV
jest
const, bez mnozen...




powyżej, co step_x, step_z) - przecież wtedy i tak mi się uda zrobić
ładny teren, a liczy się przede wszystkim szybkość, mam p166 + 3Dfx
i chcę, aby mi to ładnie pod Linuxem jeździło :-)
powiedz mi jak konkretnie to widzisz - mam samochód (przednią szybę)
w punkcie (x,y,z), y pomijamy, bo wysokość nie gra roli, mam dwie półproste
wyznaczające kąt widzenia no i pewien zakres widzenia (dalej jest mgła),
muszę określić które face'y lub vertexy leżą w tym wycinku/trójkącie,
jak to najszybciej zrobić?
gdybym cały teren podzielił na 4 kwadraty, każdy z tych kwadratów na kolejne
cztery... i tak dalej - to wystarczyłoby sprawdzić, czy duży kwadrat jest
w trójkącie/wycinku - jeżeli nie - wywalamy, jeżeli tak - wchodzimy głębiej...
czy jest lepszy sposób?

Kilka zadanek na egzamin wstepny- prosze o pomoc (do ponie działku!)

1. Udowodnic, ze dla a1 zachodzi nierownosc:
log_a (a+1) log_a+1 (a+2)

 (uzgrzązłem, udało mi się tylko dowieść, że dla a1 lewa strona 0)

2. Na przyprostokątnej AC trójk. przyprost. ABC wybrano punkt E tak, że EB
jest dwusieczną kąta B. Okrąg, którego średnicą jest EB, przecina
przeciwprostokątną AB w punkcie F. Niech CD będzie wysokością trójkąta
poprowadzoną do przeciwpr. Obliczyć AD:DB wiedząc, że AF:FB=m

3. Czworościan ABCD ma wszystkie krawędzie długości 1. Przecinamy go
płaszczyzną równoległą do AB i CD i dzielącą AC w stosunku x e(0,+inf).
Wyliczyc pole P(x) przekroju czorośc. tą płaszczyzną i zbadać otrzymaną
funkcję (pole)

 (Co to znaczy dzieli w stos. x - czy x to ułamek?)

4. Na okręgu umieszczono 8 różnych punktów. Kreślimy losowo 4 różne odcinki
o końcach w tych pkt. Obliczyć P, że narysujemy czworokąt wypukły.

 Zrobiłem dla założenia, że odcinki kreślimy "bez odrywania ołówka" (koniec

 poprzedniego początkiem następnego). A jak zadanie wygląda dla zupełnie
 dowolnych odcinków?

5. Znaleźć długości boków trójk. prostok. opisanego na okręgu r=1,  który
ma największe pole (trójkąt).

 Nie mogę dojść do wzoru na pole tego trojkąta dla 1 zmiennej, żeby  
 wyliczyć pochodną.

6. Piętnaście dziewcząt rozmieszczono losowo w 5 3-osob. pokojach. Oblicz
P, że 3 określone koleżanki (np. Ania, Kasia, Bożena) znajdą się w jednym
pokoju.

7. Egzotyczny stół bilardowy to taki, w którym suma kątów padania i odbicia
jest równa 90 stopni. Stołem jest kwadrat ABCD o boku 1. Kula startuje z
punktu P na boku AP, uderza w punkt Q (bok BC), potem R (CD), S (DA) i
wraca do punktu P. |AP| = d, |BQ| =?

 Są dwa przypadki ( PQRS może być kwadratem -AP=BQ, PQRS prostokątem -
 tutaj wysiadam)

8. Podstawą ostrosłuba ABCDS jest czworokąt wypukły ABCD. SA=SB=SC=SD, kąt
A=60 stopni, kąt C=?

 Jak udowodnić, że w podstawie jest równoległobok i spodek wysokości leży
 na przecięciu przekątnych?

Kilka zadanek na egzamin wstepny- prosze o pomoc (do ponie działku!)

Cytat:
2. Na przyprostokątnej AC trójk. przyprost. ABC wybrano punkt E tak, że EB
jest dwusieczną kąta B. Okrąg, którego średnicą jest EB, przecina
przeciwprostokątną AB w punkcie F. Niech CD będzie wysokością trójkąta
poprowadzoną do przeciwpr. Obliczyć AD:DB wiedząc, że AF:FB=m



AF=c-a
FB=a

AF/FB=m=c/a-1
c/a=m+1

AD/DC=CD/DB=b/a
AD/DB=(b/a)^2

a^2+b^2=c^2
1+(b/a)^2=(c/a)^2
AD/DB=(m+1)^2-1
AD/DB=m(m+2)

Cytat:3. Czworościan ABCD ma wszystkie krawędzie długości 1. Przecinamy go
płaszczyzną równoległą do AB i CD i dzielącą AC w stosunku x e(0,+inf).
Wyliczyc pole P(x) przekroju czorośc. tą płaszczyzną i zbadać otrzymaną
funkcję (pole)

 (Co to znaczy dzieli w stos. x - czy x to ułamek?)



Że AX/XC=x. X to punkt przecięcia płaszczyzny z odcinkiem AC.

Ta funkcja to pewnie wyjdzie parabola postaci f(x)=-ax(x-1), gdzie a0.

Cytat:5. Znaleźć długości boków trójk. prostok. opisanego na okręgu r=1,  który
ma największe pole (trójkąt).

 Nie mogę dojść do wzoru na pole tego trojkąta dla 1 zmiennej, żeby  
 wyliczyć pochodną.



Pole takiego trójkąta może być dowolnie duże. Może chodzi o trójkąt
wpisany albo o minimalne pole?

Cytat:6. Piętnaście dziewcząt rozmieszczono losowo w 5 3-osob. pokojach. Oblicz
P, że 3 określone koleżanki (np. Ania, Kasia, Bożena) znajdą się w jednym
pokoju.



2/14 że K trafi do A i 1/13 że B trafi do tamtych. Razem 1/91.

Cytat:7. Egzotyczny stół bilardowy to taki, w którym suma kątów padania i odbicia
jest równa 90 stopni. Stołem jest kwadrat ABCD o boku 1. Kula startuje z
punktu P na boku AP, uderza w punkt Q (bok BC), potem R (CD), S (DA) i
wraca do punktu P. |AP| = d, |BQ| =?

 Są dwa przypadki ( PQRS może być kwadratem -AP=BQ, PQRS prostokątem -
 tutaj wysiadam)



1' |BQ| = d
2' |BQ| = 1-d

Cytat:8. Podstawą ostrosłuba ABCDS jest czworokąt wypukły ABCD. SA=SB=SC=SD, kąt
A=60 stopni, kąt C=?

 Jak udowodnić, że w podstawie jest równoległobok i spodek wysokości leży
 na przecięciu przekątnych?



Nie musi być równoległobok, wystarczy czworokąt wpisywalny w okrąg. W
takim czworokącie suma miar przeciwległych kątów wynosi 180'.